第一招 连圆心,造半径
方法技巧
作半径:
(1)连接半径构造等腰三角形;
(2)遇到切点,作过切点的半径,得到直角。
针对训练
1.如图,⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E,且CE=OB,已知∠DOB=72°,则∠E等于( )
A.36° B.30°
C.18° D.24°
2. (2019·嘉兴)如图,已知⊙O上三点A,B,C,半径OC=1,∠ABC=30°,切线PA交OC延长线于点P,则PA的长为( )
第二招 造直径,出直角
方法技巧
已知直径或作直径,我们要想到两件事:
(1)直径上有一个隐藏的中点(圆心);
(2)利用圆周角定理构造直角三角形.
针对训练
方法1 遇直径构造直径所对的圆周角
3.(2019·滨州)如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上两点.若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为( )
A.60° B.50°
C.40° D.20°
方法2 构造直径转化角度解题
4.如图,⊙O经过△ABC的三个顶点,⊙O的半径R=2,sinB=3/4,则弦AC的长为 .
温馨提示:根据同弧所对的圆周角相等,将∠B转移到以AC为一边的直角三角形中,利用锐角三角函数求AC的长.
第三招 遇弦,造垂径定理模型
方法技巧
遇弦,添加弦心距或半径,构造垂径定理模型,然后运用垂径定理和勾股定理解题.
针对训练
5.如图,⊙O的半径为2,弦AB=2倍的根号3,点C在弦AB上,AC=1/4AB,则OC的长为( )
第四招 圆周角定理模型
方法技巧
已知圆心角度数,运用圆周角定理,可求同弧所对圆周角的度数,反之亦然.
针对训练
7.(2019·连云港)如图,点A、B、C在⊙O上,BC=6,∠BAC=30°,则⊙O的半径为 .
第五招 等弧模型
方法技巧
出现等弧问题时,我们要想到:
(1)在同圆或等圆中相等的弧所对的弦相等,弦心距也相等;
(2)在同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等,圆周角也相等.
针对训练
8. 如图,在⊙O中,AB,CD是两条弦,OM⊥CD,ON⊥AB,如果AB=CD,则下列结论不正确的是( )
A.∠AON=∠DOM
B.AN=DM
C.OM=DM
D.OM=ON
第六招 内接正多边形
方法技巧
对于圆的内接正多边形的问题,往往添加边心距,抓住一个直角三角形去解决.
针对训练
9.如图,正六边形ABCDEF内接于圆O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM和弧BC的长分别为( )
第七招 构造圆内接四边形
方法技巧
(1)对角互补;(2)∠CBE=∠D
针对训练
10.如图,在⊙O中,点A、B、C在⊙O上,且∠ACB=110°,则∠α=( )
A.70° B.110°
C.120° D.140°
第八招 三角形的内切圆
方法技巧
遇到三角形的内切圆时,连接内心与三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段.作用:利用内心的性质,可得① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线;② 内心到三角形三条边的距离相等。
针对训练
11.(2019·荆门)如图,△ABC内心为I,连接AI并延长交△ABC的外接圆于D,则线段DI与DB的关系是( )
A.DI=DB B.DI>DB
C.DI<DB D.不确定
第九招 三角形的外接圆
方法技巧
遇到三角形的外接圆时连结外心和各顶点作用:外心到三角形各顶点的距离相等。
针对训练
12.已知点O是△ABC的外心,连接OB,若∠OBC=28°,则∠A的度数为( )
A.28° B.52°
C.56° D.62°
第十招 两法证切线
方法技巧
切线的证明:
(1)有交点:连接半径,证垂直;
(2)无交点:作垂直,半径.
针对训练
13.(2019·乐山)如图,直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,与⊙O相交于点P,OA=5.C是直线l上一点,连结CP并延长交⊙O于另一点B,且AB=AC.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,求线段BP的长.
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