高考数学之函数及其表示

1．辨明两个易误点

(1)易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．

(2)分段函数是一个函数，而不是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

2．函数解析式的四种常用求法

(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(4)方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

　函数的基本概念[学生用书P17]

[典例引领]

　以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？

(1)f₁：y＝；f₂：y＝1.

(2)f₁：y＝

f₂：

 

x	x≤1	1<x<2	x≥2
y	1	2	3

(3)f₁：y＝2x；f₂：如图所示．

【解】　(1)不同函数．f₁(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f₂(x)的定义域为R.

(2)同一函数，x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．

(3)同一函数．理由同(2)．

函数为同一个函数的判断方法

(1)两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．　

(2)函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．

　有以下判断：

①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；

②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；

③f(x)＝x²－2x＋1与g(t)＝t²－2t＋1是同一函数；

④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.

其中正确判断的序号是________．

[解析] 对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，若x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数的定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)与g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝－＝0，

所以f＝f(0)＝1.

综上可知，正确的判断是②③.

[答案] ②③

　求函数的定义域[学生用书P17]

[典例引领]

　(1)函数f(x)＝的定义域为________．

(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________．

【解析】　(1)要使函数f(x)有意义，必须使

解得x<－.

所以函数f(x)的定义域为.

(2)由得0≤x<1，即定义域是[0，1)．

【答案】　(1)　(2)[0，1)

 [通关练习]

1．(2017·淄博模拟)函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是(　　)

A.　　　　　　       B．

C.                                D．

　B　[解析] 要使函数有意义，需满足

解得－<x<1.

2．函数f(x)＝(a>0且a≠1)的定义域为________．

[解析] 由⇒⇒0<x≤2，故所求函数的定义域为(0，2]．

[答案] (0，2]

　求函数的解析式[学生用书P18]

[典例引领]

　(1)已知f＝x²＋，则f(x)的解析式为________．

(2)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为________．

(3)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．

(4)函数f(x)满足方程2f(x)＋f＝2x，x∈R且x≠0，则f(x)＝________．

【解析】　(1)由于f＝x²＋＝－2，

所以f(x)＝x²－2，x≥2或x≤－2，

故f(x)的解析式是f(x)＝x²－2(x≥2或x≤－2)．

(2)令＋1＝t，由于x>0，所以t>1且x＝，

所以f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．

(3)设f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.

所以f(x)＝ax²＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)²＋b(x＋2)＋3－(ax²＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.

所以

所以

所以所求函数的解析式为f(x)＝x²－x＋3.

(4)因为2f(x)＋f＝2x，①

将x换成，则换成x，得2f＋f(x)＝.②

由①②消去f，得3f(x)＝4x－.

所以f(x)＝x－(x∈R且x≠0)．

【答案】　(1)f(x)＝x²－2(x≥2或x≤－2)　(2)f(x)＝lg(x＞1)　(3)f(x)＝x²－x＋3　(4)x－(x≠0)

 若本例(4)条件变为2f(x)＋f(－x)＝2x，求f(x)．

[解] 因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①

将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②

由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，

所以f(x)＝2x.

　

[通关练习]

1．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝__________．

[解析] 法一：设t＝＋1，

则x＝(t－1)²(t≥1)；

代入原式有f(t)＝(t－1)²＋2(t－1)＝t²－2t＋1＋2t－2＝t²－1.

故f(x)＝x²－1(x≥1)．

法二：因为x＋2＝()²＋2＋1－1＝(＋1)²－1，

所以f(＋1)＝(＋1)²－1(＋1≥1)，

即f(x)＝x²－1(x≥1)．

[答案] x²－1(x≥1)

2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝__________．

[解析] 设f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，

则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，

所以a＝1，b＝2，f(x)＝x²＋2x＋c.

又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根，

所以Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x²＋2x＋1.

[答案] x²＋2x＋1

　分段函数(高频考点)[学生用书P18]

分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．

高考对分段函数的考查主要有以下四个命题角度：

(1)由分段函数解析式，求函数值(或最值)；

(2)由分段函数解析式与方程，求参数的值(或范围)；

(3)由分段函数解析式，求解不等式；

(4)由分段函数解析式，判断函数的奇偶性．(本章第3讲再讲解)

[典例引领]

　(1)(2015·高考陕西卷)设f(x)＝则f(f(－2))＝(　　)

A．－1　　　　B.　　　　C.　　　　D.

(2)(2017·高考全国卷丙)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．

【解析】　(1)因为－2<0，所以f(－2)＝2^－2＝>0，所以f＝1－　＝1－＝.

(2)当x>0时，f(x)＝2^x>1恒成立，当x－>0，即x>时，f＝2x－>1，当x－≤0，即0<x≤时，f＝x＋>，则不等式f(x)＋f>1恒成立．当x≤0时，f(x)＋f＝x＋1＋x＋＝2x＋>1，所以－<x≤0.综上所述，x的取值范围是.

【答案】　(1)C　(2)