连续性方程式可采用不同的方法进行推导，本节是通过物料衡算进行推导的。

在定

态流动系统中，对直径不同的管段做物料衡算，如图1-8所示。以管内壁，截面1-1′与2-2′为衡算范围．由于把流体视为连续介质，即流体充满管道，并连续不断地从截面1-1′流入、从截面2-2′流出。

对于定态流动系统，物料衡算的基本关系仍为输入量等于输出量，即单位时间进入截面1—1′的流体质量与流出截面2-2′的流体质量相等，若以1s为基准，则物料衡算式为：ws1=ws2

因ws=uAρ，故上式可写成：

（1-16）

若上式推广到灌录上任何一个截面，即：

（1-16a）

式1-16a表示在定态流动系统中，流体流经各截面的质量流量不变，而流速u随管道截面积A及流体的密度ρ而变化。

若流体可视为不可压缩的流体，即ρ=常数，则式1-16a可改写为：

（1-16b）

式1-16b说明不可压缩流体不仅流经各截面的质量流量相等，它们的体积流量也相等。

式1-16至1-16b都称为管内定态流动的连续性方程式。它反映了在定态流动系统中，流量一定时，管路各截面上流速的变化规律。此规律与管路的安排以及管路上是否装有管件，阀门或输送设备等无关。

【例1-9】在定态流动系统中，水连续地从粗管流入细管。粗管内径为细管的两倍，求细管内水的流速是粗臂内的若干倍。

解：以下标1及2分别表示粗管和绢管。不可压缩流体的连续性方程式为：

u1A1=u2A2

圆管的截面积A=πd2/4，于是上式可写成：

由此得

因d1=2d2，所以

由此解可见，体积流量一定时，流速与管径的平方成反比。这种关系虽简单，但对分析流体流动问题是很有用的。