初中数学 | 手拉手模型的应用

首先大家得明白什么是手拉手模型，先看几个典型图形，我们再尝试找出规律。等边三角形，等腰直角三角形（正方形）共一个顶点的手拉手模型，不难发现，通过 SAS（边角边） 判定，出现全等三角形.如何快速找到等腰三角形呢，我们可以观察对应相等的边和角度去分辨如下图展示：

以上是特殊等腰三角形，那么一般等腰三角形呢？依然可以通过头头尾全等SAS（边角边）找到全等三角形：△ABC与△ADE为共顶点等腰三角形，△ABD全等△ACE；

于是，我们可以初步总结，两个相似的等腰三角形（一大一小），共顶点（顶角的顶点），那么通过 SAS 判定，我们是可以找到一对全等三角形的.我们也可以这样理解，等腰三角形绕顶角顶点放缩旋转角度，必然可以通过SAS找到一对全等三角形.这为后续的构造旋转相似提供了思路。

旋转角度如果是特殊角（60°，90°，120°），会给计算求值带来方便.三角形旋转，可以先研究线段绕某点旋转，如图，线段绕点旋转90度，会形成边长比1:1:√2的等腰直角三角形，若旋转60度会形成边长比为1:1:1的等边三角形，若旋转120度 ,会形成边长比为1:1:√3的等腰三角形。

例1：如图，P为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点A，B，C 的距离分别为 3，4，5，则△ABC的面积为多少。

例2：如图在正方形ABCD中外有一点P，且PA=3，PB=1，PC=√11，求∠APB的度数。

变式练习1：如图，已知⊙O半径为2，以弦AB为边在⊙O内作正方形ABCD，连接OD，则OD的最小值为多少。

我们通过旋转的思路来理解手拉手，那么不等边三角形放缩旋转后有怎样的规律呢？

如图，ΔABC绕顶点A逆时针放缩旋转至ΔADE，发现全等没有了，但我们可以找到2组相似三角形，ΔABD∽ΔACE，ΔABC∽ΔADE，也就是说放大、缩小旋转后本身有一对三角形相似，又增加了一对相似三角形，对应边成比例，这样可以简单地称为“旋转一拖二”。

例：AD=2，AB=4，以AB为直角边作直角ΔABC，且∠ABC=90°∠BAC=30°，连接CD当∠ABD变化时，求CD长度的最大值。

变式1：如图，在ΔABC中，AB=AC=10，以BC为边作直角ΔBCD，∠BCD=90°，BC=2CD，若∠BAC+∠BDC=180°，则求AD长度。

如图，辅助线做法为：旋转相似，大家自己计算结果。

变式2：AB=4，AB中点为 O，⊙O 的半径为 1，点 P 在圆⊙O 上移动，等边ΔAPK，连接 BK，则求BK的取值范围。

辅助线构造如下图，解决办法就是旋转相全等。