原题重现:
1、如图,D为等腰RT△ABC外一点,若∠ADB=90°,求证:
(1)AD-BD=√2CD;
(2)∠ADC=45°
思路分析:
已知:AC=BC;∠ACB=∠ADB=90°;进一步倒角可得∠CAD=∠CBD;要求线段和差倍分的关系,常见方法为截长补短,又考虑题目等腰直角三角形的特殊性,构造直角三角形也不失为一种好方法。
方法讲解:
法一:截长补短(在AD上取一点E,使AE=BD,连接CE)
①由∠CAD+∠BAD+∠CBA=∠BAD+∠CBA+∠CBD=90°得∠CAD=∠CBD;
②△CAE≌△CBD(ASA)
③∠ACE=∠BCD,CE=CD;
④△CED为等腰直角三角形,得证。
法二:构造直角三角形(过C作CE⊥CD交AD于点E)
①倒角可得∠CAD=∠CBD,∠ACE=∠BCD;
②△CAE≌△CBD(ASA)
③AE=BD,CE=CD;
④△CED为等腰直角三角形,得证。
法三:四点共圆(对于问题(2))最简单
原题重现:
2、如图,D为等腰RT△ABC外一点,若∠ADC=45°,求证:∠ADB=90°
思路分析:
已知:
AC=BC;∠ACB=90°,∠ADC=45°;
问题的关键是45°角怎么用.
方法讲解:
法一:构造直角三角形(过C作CE⊥CD交AD于点E)
①△ABC和△DEC均为等腰直角三角形;
②△CAE≌△CBD(ASA)
③∠AEC=∠BDC
法二:四点共圆
原题重现:
3、如图,D为外一点,若∠ADC=45°,∠ADB=90,求证:AC=BC.
方法讲解:
法一:构造直角三角形(过C作CE⊥CD交AD于点E)
①△DEC为等腰直角三角形;
②倒角得∠ACE=∠BCD,∠AEC=∠BDC=135°;
③△CAE≌△CBD(ASA),得证。
法二:四点共圆
总结归纳:
对于等腰RT△ABC外一点,若这一点与底边构成一个以其为斜边的直角三角形,有如下结论:
1、当这一点与等腰的顶点同侧
(1)AD-BD=√2CD;
(2)∠ADC=45°
2、当这一点与等腰RT△ABC的顶点异侧
①AD+BD=√2CD;
②CD平分∠ADB.
联系客服