趣味几何｜知识就是这么拓展的

如图，正方形ABCD，边长为4

就这么一个条件，根据已学的知识，如何出题，如何拓展呢？

对于初一的学生，我们的题目可以这么出：

如图，正方形ABCD，边长为4，P为对角线AC上一动点，求PA+PB+PC的最小值。

条件：正方形

考点：垂线段最短

分析：P虽为动点，但是通过观察发现，PA+PC为定值等于AC，所以求PA+PB+PC的最小值，即是求PB的最小值。PB什么时候最小，对于初一的孩子来说，此时出题者的意图非常明显了，就是考察垂线段最短，PB最小=2√2。

答案：此时(PA+PB+PC)最小=6√2

对于初三的学生，我们的题目可以这么出：

如图，正方形ABCD，边长为4，P为对角线AC上一动点，求PA+PB+PD的最小值。

            

条件：正方形；

考点：全等三角形、胡不归

分析：根据正方形的性质可知△APB≌△APD，则可得到PB=PD；所以求PA+PB+PD的最小值，即是求PA+2PB的最小值；

解析：看到PA+2PB的最小值此类题型，就可以联系到胡不归。将数学式子变形一下：PA+2PB=2（1/2PA+PB），所以此题就是求1/2PA+PB的最小值。

      

过点A作∠CAF=30°，过点P作PG⊥AF于点G，过点B作BH⊥AF于点H；所以1/2PA+PB=PG+PB，那么当B、P、G三点共线时，则PG+PB最小，即求BH的长度。

答案：根据15°角的直角三角形的三边关系比例为1:(√3+2):(√6+√2)，如果对此知识点不熟悉的同学，请点击这里[探究15°角].所以BH=(√3+2)*(√6-√2)=√6-√2

对于初三的学生，我们的题目还可以这么出：

如图，正方形ABCD，边长为4，P为对角线AC上一动点，求PA+PB+PC的最小值。

            

   

条件：正方形；

考点：费马点

分析：求PA+PB+PC的最小值，即平面内一动点与三定点线段和的最小值考察费马点这个知识点。

解析：费马点所用的几何辅助线方法就是旋转。

         

将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BP'C'，则得到等边△BPP'，所以PA+PB+PC=PA+PP'+P'C，所以当A、P、P'、C'四点共线的时候最小，此时最小值为AC'的长度。

答案：△BCC'为等边三角形，所以BC'=BC=4，∠CBC'=60°。做辅助线如图所示，得到∠EBC'=30°，EC'=2，BE=2√3，所以在RT△AEC'中，AC'=√（4+2√3）²+4

对于初三的学生，我们的题目还可以这么拓展：

如图，菱形ABCD，∠ABC=60°，边长为4，P为对角线AC上一动点，求PA+√2PB+PC的最小值。

条件：菱形；

考点：加权费马点

分析：求PA+√2PB+PC的最小值，即平面内一动点与三定点线段和的最小值考察费马点这个知识点。

解析：加权费马点所用的几何辅助线方法就是旋转。

将△BPC绕点B顺时针旋转90°得到△BP'C'，则得到等腰RT△BPP'，所以PA+√2PB+PC=PA+PP'+P'C，所以当A、P、P'、C'四点共线的时候最小，此时最小值为AC'的长度。

答案：△BCC'为等腰RT△，所以BC'=BC=4，∠CBC'=90°。做辅助线如图所示，得到∠EBC'=30°，EC'=2，BE=2√3，所以在RT△AEC'中，AC'=√（4+2√3）²+4

总结：一个知识点联系一个知识点，一道题延伸另外一道题。