韦达定理的十种变形及六种应用

我们先看一下人教版教材中对于《一元二次方程的根与系数的关系》进行的总结和阐述：

1、由第一个思考，我们得到一个非常重要的结论：

韦达定理并不是由求根公式推导出来的，而是根据多项式恒等定理推导出来的。

2、用韦达定理求一元二次方程的根的核心思想是：将原方程转化为关于x1、x2的二元一次方程组，属于典型的降次思想。

3、关键点则是：求得x1+x2和x1-x2的值，再联立并解方程组得到原方程的两个根。

拓展：如果x1、x2是方程的ax2+bx+c=0两个实根，那么｜x1-x2｜的代数意义是√△/a，几何意义是二次函数y=ax2+bx+c图像的x轴截距（即二次函数与x轴两个交点之间的距离）。

4、由于韦达定理只提供了两根的和与积两种形式，我们需要利用完全平方公式的恒等变形，得到两根之差的值，才可以建立方程组求解。

5、其实我们在解一元二次方程含根问题时，需要面对两根差或根的高次幂等现实问题，因此一定要熟悉以下10种常见的变形公式：

同时韦达定理所涉及的题型有以下六种：

1、已知方程的一个根，求方程的另一个根及未知系数

2、已知方程的两根，求一元二次方程的解析式。

3、不解方程，利用根与系数的关系检验两个数是否是一元二次方程的两个根。

4、不解方程，利用根与系数的关系，求关于两根的代数式的值。要用到上面10中韦达定理的变形。

5、已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母的值或范围。

6、利用根与系数的关系，讨论根的符号。