粒子的自旋数是怎么得出来的

一

粒子因为自旋会产生很多影响，比方说粒子会有一个自旋角动量，又比如一些粒子会因为自旋而产生磁矩。但粒子自旋为1/2还有一层意思：一个粒子要转两圈才能恢复到原来的状态，反映到波函数上，粒子转一圈之后，波函数的相位会与原来的正好相反，只有转两圈波函数才能彻底恢复原状。直接测量波函数的相位当然不可能，但是我们可以测量相位差，如果人们能够操纵粒子，让自旋为1/2的粒子分别转一圈和分别转两圈，再让它们和原来的波函数叠加，会发生什么现象？就像托马斯·杨的双峰干涉实验一样，相位差不同的两束波叠加在一起会发生干涉现象。这样的话，通过干涉条纹的分布，我们就可以计算出相位差，也就可以证明粒子自旋确实是1/2了。那么剩下的唯一问题就是：如何操纵粒子转圈？这不是什么难事儿，前面已经说过了，粒子有磁矩，通过加上一个磁场让粒子转圈并不困难。这个实验，叫做“中子干涉”实验，实验的结果与量子力学的预测完全一致：中子转一圈之后，波函数的相位与原来完全相反，两束波叠加在一起会互相抵消；只有让中子转两圈之后，波函数的相位才会恢复原状，两束波叠加在一切会大大增强。这就证明了中子的自旋，确确实实是1/2。

二

在场论中，认为场是更基本的物理量，而粒子是场的激发态。所以知道了场的性质，在此基础上进行正则量子化就可以得到粒子的性质。这里我们针对于场来说明自旋这个概念是怎么出现的。所谓自旋是内禀属性，或者说自旋是时空的性质这种说法本身是对的，但是对于应用是没有什么意义的。

区分不同类型的场的关键依据是看场在洛伦兹变换下如何变化，比如标量场

, 不难根据

矩阵的性质推的

也满足洛伦兹代数，并且是和

我们说自旋是一种角动量的意思是，角动量是和空间旋转不变性相对应的守恒流。因为场在洛伦兹变换下也发生了变化，而不仅仅是坐标发生变化（对应标量场），所以无穷小形式的场的变化也要多出一项，所以在洛伦兹变换之后，根据诺特尔定理推守恒量那一套，这时相应的守恒量就可以变成

。相比于标量场，后面的那一项就是表示的自旋。这是场出现的自旋角动量密度，之所以说它是内禀的性质，是因为这一项完全是由于场的变换性质而来的而不依赖于时空坐标的变换。就像global对称性，也就是说是描述场的变换而不是背景时空的变换。如果对场进行量子化自然的给出自旋为1/2的粒子。这一套在场论里已经被广泛接受，是最基础的问题。

三

很早我就知道自旋这个东西是和群表示有关系的，但是仍然看不出来1/2这个数字是从哪里来的。其实这个问题非常简单，非常非常简单。以下具体的数学来源可以简要参考Birrell＆Davis(1982)

自旋的主要来源是O(1,3)群的群表示。可以证明O(1,3)群有一个二对一的泛覆盖群SU(2)

SU(2)，前后两个群的群元互相之间对易，而自身形成类似于角动量的对易关系，于是我们就叫它角动量了。

具体一点说（开始上数学了），我们现在有平动生成元

和转动生成元

，它们可以共同构成O(1,3)的生成元，然后定义

下面重点来了如果表示是

我们拿最简单的左手旋量来举例，右手旋量和狄拉克旋量也可以类似处理。解释一下，所谓左手旋量其实指的就是

表示下的旋量，右手就是

其中

是三个角度参数。这个时候有意思的情况出现了。我们发现角度参数下面出现的一个除以2，这就意味着如果这个参数是

（所谓的一圈），那么其实在这个argument只相当于

，而只有当这个角度是

的时候（所谓的两圈），才会在argument里面产生

变化，也即所谓的复原。（上面那个东西要是不好理解就想象成

吧，虽然严格纠结起来是有差别的，会差一个SO(3)和SU(2)的李代数之间的一个同构映射）也可以用相同的思路论证自旋为1的粒子转一圈就复原。

最后引用著名的周彬教授的两句话：“李群李代数这种东西，博大精深，是我开多少学期的课都讲不完的。”“现在的理论学家啊，李群李代数玩得越好，水平就越高；像Witten那类人啊，就属于特别会玩李群李代数的。