第1章 函数
1.1 复习笔记
一、实数
1．数集
（1）集合的概念
集合是将具有某种特性的、确定的、互不相同的对象的全体作为一个整体，这些对象称为集合中的元素，若a是集合A中的元素，则记为a∈A，如果a不是集合A中的元素，则记为.
（2）集合的表示方法
①列举法：是将集合中的元素全部列出.
②描述法：是将集合的特性精确给出.
（3）子集的相关概念
①子集的定义：若集合A中的每一个元素X都属于集合B，则称B包含A，记为，此时也称A是B的子集.
②集合相等：如果和同时成立，则认为A，B是同一个集合，此时也记为A＝B.
③真子集的定义：若且A≠B，则称A是B的真子集，记为.
注：空集即中不含有任何元素,因此是任何集合的子集.
（4）集合的运算
给定集合A，B，集合有以下常用运算：
①称为A与B的并；
②称为A与B的交；
③称为A与B的差.
2．实数系的连续性
（1）分划的定义
设S是一个有大小顺序的非空数集，A和B是它的两个子集，如果它们满足以下条件
①
②
③都有
④A中无最大数，
则将A，B称为S的一个分划，记为.
（2）戴德金分割定理
对实数系R的任一分划（A|B），B中必有最小数.
3．有界集与确界
（1）有界集
①设集合并且，
a．如果存在使得对有≤M，则称E是有上界的，并且说M是E的一个上界；
b．如果存在使得对有≥m，则称E是有下界的，并且说m是E的一个下界；
c．如果E既有上界又有下界，则称E是有界的.
②E是有界的充分必要条件是：存在M＞0，使得对任意的有
（2）确界的定义
①上确界
设为一个非空数集，若有满足
a．M是E的一个上界，即有
b．对存在使得则称M为E的上确界，记为.
②下确界
设为一个非空数集，若有满足：
a．m是E的一个下界，即有
b．对存在使得，则称m为E的下确界，记为
显然，E的上确界就是它的最小上界，而下确界就是它的最大下界.
（3）确界定理
非空有上界的实数集必有上确界；非空有下界的实数集必有下确界.
（4）常用不等式
①实数的绝对值
由此可知，对任何有
②三角不等式
，
③伯努利（Bernoulli）不等式：对任意的和任意正整数n，有
④算术—几何平均不等式：对任意n个非负实数有：
（5）常用记号
①N：全体正整数组成的集合；
②Z：全体整数组成的集合；
③Q：全体有理数组成的集合；
④R：全体实数组成的集合.
显然有
⑤闭区间：
⑥开区间：
⑦左开右闭区间：
⑧左闭右开区间：且；
⑨无穷区间：.
二、函数的概念
1．函数的定义
（1）对于给定的集合，如果存在某种对应法则f，使得对X中的每一个数x，在R中存在唯一的数y与之对应，则称对应法则f为从X到R的一个函数，记做
其中y称为f在点x的值，X称为函数f的定义域，数集称为函数f的值域，记为f（x），x称做自变量，y称做因变量.
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