一、什么是黄金分割
为什么女孩子喜欢穿高跟鞋？为什么有的人拍的照片令人赏心悦目？为什么书的尺寸不是随意的？这些都与美有关。如果用数学语言来解释，它们都与“黄金分割”这一数学原理有关。华东师大版初中数学教材在九年级上册第56页通过一个“阅读材料”给出了黄金分割这一知识点。黄金分割集数学的科学性、人文性和应用性于一体，是培养学生数学核心素养的极佳素材。
一
什么是黄金分割
欧几里得《几何原本》在第六卷给出了如下的定义3：
分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。
中外比就是我们通常所称的黄金分割。如图1，如果 AB∶AP＝AP∶PB，则称点P是线段AB的黄金分割点。
图1
二
黄金分割与斐波那契数列
如下数列｛Fn｝：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中，从第三项起，每一项均等于前面两项之和。
这个数列是由生于意大利比萨的莱昂纳多·斐波那契首先加以研究的，称为斐波那契数列。
可以得出
式（3）可以利用图2即刻得出。
图2
三
黄金分割与贾宪三角
贾宪三角中藏着斐波那契数列。把贾宪三角左对齐，按如图3所示的斜线求和，就可得到斐波那契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34…
图3
图4
如图5，把贾宪三角中的奇数和偶数用不同的颜色区分开来，得到的正好是形如图6所示的分形（谢尔宾斯基三角形）。
图5
图6
四
黄金分割与黄金矩形
可知：分别以斐波那契数列的相邻两项为长和宽的矩形可以分成一些正方形。由此我们给出如下定义：如果一个矩形的长、宽之比等于φ，则称该矩形为黄金矩形。
如图7上，不妨设黄金矩形的长为φ，宽为1。如果我们从中减去一个正方形，那么余下的矩形还是一个黄金矩形。
如图7下，将黄金矩形中各正方形的会合点用一条曲线连接起来，得到一条优美的曲线，它接近于“对数螺线”。
图7
图8所示的矩形虽然不是黄金矩形，但也具有一种令人满意的对称性，这也可能是用它来度量纸张大小的原因吧。
图8
五
黄金分割与海螺线
我们已经知道，在嵌套的黄金矩形中依次连接各正方形的会合点就得到一条螺线。如图9所示，顾名思义，螺线就是一种貌似螺壳的曲线。
图9
17世纪解析几何的创立者笛卡尔首先给出了螺线的解析式，即在极坐标下：
其图象如图10所示。
图10
雅谷·伯努利对螺线进行了深刻研究，死后遵照其遗嘱在他的墓碑上刻有一条对数螺线，旁边还写道：“虽然改变了，我还是和原来一样！”（如图11）
图11
如图12，向日葵籽在花盘上是按螺线方式排列的。
图12
螺线也被广泛用于生活的各个领域，如螺钉上面的镗线就是一条条的螺线。我们描述事物的发展规律也常常说“螺线式”上升。
六
黄金分割与“优选法”
华罗庚先生大力提倡的“优选法”也常被称为0.618法：用优选法在一个区间中所选的两个点，就是此区间上的左、右黄金分割点。即优选法的理论基础是黄金分割。
有人提出过一个“小康型购物公式”：
小康型消费价格=0.618×（高档消费价格－低档消费价格）+低档消费价格。
它的图示如图13所示。
图13
也就是说：你在选购商品时，根据自己的财力状况，若认为高档价格过于昂贵，而低档价格的商品款式、性能等又不尽如人意，那么你可以选购价格为上面公式所给的档次的商品——它的价格中等偏上，堪称“小康”水准。
七
美是算出来的
1.黄金分割与维拉斯雕像（如图14）。
图14
2.黄金分割与《蒙娜丽莎的微笑》（如图15）。
图15
3.黄金分割与“苹果”手机的Logo（如图16）。
图16
4.黄金分割与摄影
如图17～18所示，摄影构图时常常使用九宫格构图法，即让需要表现的主体位于黄金分割点。
图17
图18
八
大自然是按数学规律设计的
如图19所示，我们可以从花的瓣数中，找到斐波那契数列：花瓣数通常是3，5，8，13，…
图19
如图20，观察植物的叶片并填写下表：
我们在表格中，看到的这一列数字就是我们说的斐波那契数字，植物的叶子这样排列，可以让每片叶子获得很好的阳光份额，并捕获最多的雨水，以便沿着树叶流向树干。
图20
不少植物叶状虽然不同，但其排列却有相似之处，比如相邻两张叶片在与茎垂直的平面上的投影夹角是137°28′（如图21），这个角度正是把圆周分为1：0.618…的两条半径的夹角。科学家经计算表明：这个角度对植物叶子通风、采光来讲，都是最佳的。
图21
九
黄金分割的教学建议
黄金分割尽管在教材中是一个阅读材料，但应充分利用这一知识点引导学生树立正确的数学观，感受数学的价值，并在学习过程中得到数学美的熏陶。
1.把黄金分割作为沟通数学知识的纽带
黄金分割这一知识点与比例、一元二次方程、连分数、数列、极限、黄金矩形、螺线等数学知识都建立了联系。教学中，应充分利用黄金分割这一纽带，强化这些数学知识之间的联系，从而让学生感受到数学的整体性。
2.把黄金分割作为沟通人自身、社会、自然之间关系的纽带
黄金分割沟通了人自身（对美的追求）、社会（美是算出来的）、自然（大自然是按数学规律设计的）之间的联系。教学中，应让充分利用黄金分割这一载体，让学生感受数学的价值，从而树立正确的数学观。
3.黄金分割评价举例
对黄金分割的评价，应把重点放在让学生感受数学的科学价值、文化价值和应用价值。例如可命制如下问题：
【2010年佛山市中考题】一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看。如图22，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？（精确到1cm）
图22
参考文献
[1] 李大潜. 黄金分割漫话[M]. 北京：高等教育出版社，2007.
[2] 吴振奎，吴旻. 数学中的美[M]. 上海教育出版社，2004.
[3] [英]Tony Crill. 影响数学发展的20个大问题[M]. 北京：人民邮电出版社，2012.
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