现居郊外，没有太多楼房遮挡，很容易注意到夏天和冬天，日复一日地太阳在房子四周升起落下。虽然在中学的地理课上，我们就已经知道了，在北半球，夏天日出方位为东北，日落方位为西北，冬天日出方位为东南，日落方位为西南，而春分日和秋分日，太阳从正东方升起，从正西方落下；而南半球与北半球相反，夏天日出方位为东南，日落方位为西南，冬天日出方位为东北，日落方位为西北：而我也有了一个很自然的猜测——同一天全球各地的日出日落方位都是相同的，不过中学地理课中没讲的，是夏天和冬天太阳升起落下的方位角，具体是多少。如果有人问我这个问题，我可能会不假思索地说，因为黄赤交角是23.5度，所以，夏至日太阳升起的方位最偏北，是东偏北23.5°，与之相对太阳落下的方位是西偏北23.5°；冬至日太阳升起的方位最偏南，是东偏南23.5°，太阳落下的方位是西偏南23.5°：某一日期太阳升起和落下的方位就是当日地轴与太阳光线所成的夹角。
这猜测和想法看似有一定的道理，实则经不起推敲。首先，这是把地球假想成了平面，所推理出的结果，这个结果在一定程度上没有错，但它只在赤道上适用；其次，假如我们想想，地球的南北极，是有极昼和极夜的，假如同一天全球各地的日出日落方位都是相同的，那么当极地是极昼或极夜时，那里的日出和日落方位是什么？我们可以用一个特例来说明，当极地中的某地处于极昼/极夜和非极昼极夜的临界点时，意味着这一天太阳升起和落下的地点在同一处，显然，不可能有一天全球所有的地方都是太阳升起和落下的地点在同一处。
所以，地球上任意一个地点日出/日落方位的计算，并不像想像的那么简单。要想知道日出/日落方位到底如何计算，就可能需要借助一些空间几何和向量的知识。
假如身边有一个地球仪，用灯光模仿着太阳光照射它的一边，观察其上面的晨昏线，我们可以看出，对于晨昏线上的一点来说，太阳光线的方向与经过这个点的纬线圈（或经线圈）的切线方向所成的夹角，就是这个地点的日出/日落方位。
不过这里有个问题，通过经线圈的切线与纬线圈的切线，各可以求出一个夹角，如何保证它们所表示的日出（日落）方位是一致的呢？众所周知，经线圈表示南北方向，纬线圈表示东西方向，经过同一个点的经线圈切线与纬线圈的切线的夹角总是90°，故只有太阳光线与经过此点的经线圈切线和纬线圈的切线形成的两个夹角之和等于90°，才能保证通过经线圈和纬线圈求出的日出方位是一致的。经线圈切线和纬线圈切线所决定的平面表示这个点附近的地面，对这个点来说，日出或日落时，太阳光照射过来的方向应该正好在地面这个平面内。两个夹角之和等于90°，也正表明太阳光线与经线圈切线和纬线圈切线所决定的平面共面。也就是说，在晨昏线上任意一点，太阳光线与经过这个点的经线圈的切线和经过这个点的纬线圈的切线所决定的平面应该是共面的。如果这个结论成立，那么就可以通过求太阳光线与经线圈切线和纬线圈切线中的任意一个所成夹角，来求出日出/日落方位。
先观察一些特殊点。在晨昏线与赤道的交点，很容易看出太阳光线与经线圈的切向、纬线圈的切向在同一平面内；再改变光线的角度，观察夏至/冬至时，晨昏线与极圈的交点，发现经过这个点的经线圈的切线恰好沿着太阳光线的方向，所以太阳光线确实也与经线圈切线和纬线圈切线所决定的平面共面。对于晨昏线上的任意一点，也不难发现，地平面的法向量一定位于连接这个点和地心的直线上，而经过该点的经线圈的切线、纬线圈的切线以及太阳光线都是与这个法向量垂直的，所以它们理所当然地共面。
假如以太阳光线的方向为x轴建立空间直角坐标系，那么太阳光线很容易用向量（1，0，0）表示。选取从地心指向晨昏线与赤道交点的方向作为这个空间直角坐标系的z轴，而原点的位置选取不会影响向量的表示。这样，根据向量方法，只需计算出经线圈和纬线圈切线的方向向量的坐标表示，就很容易求出它们与太阳光线的夹角了。下面就计算这经线圈和纬线圈的切线的方向向量。
赤道上的情况仍然是最简单的，太阳光线与地轴的夹角，等于太阳直射点的纬度δ。从而得到在赤道处纬线圈的切线方向向量是v1=（cosδ，-sinδ，0），经线圈的切线方向向量是v1'=（sinδ，cosδ，0）。从而求出太阳光线与纬线圈的切线方向的夹角是arccos（cosδ/（1×1））=δ，所以，日出/日落方向就是东偏北（或东偏南）δ度。
对于一般的情况，也可以通过旋转变换来求得过晨昏线上任意一点的经线圈和纬线圈的切线的方向向量。下面将会用到向量的旋转公式：
在平面p内，平面的法向量是p，将向量v1逆时针旋转ϕ度，所得到的向量为v2，则
v2=v1cosθ+p×v1sinθ
假设晨昏线上任意一点，它的纬度为θ，它与晨昏线与赤道交点的经度差为ϕ，通过观察发现，该处纬线圈的切线的方向，与同经度上赤道处纬线圈的切线的方向是一致的，而且是由位于晨昏线与赤道交点处的纬线圈切线的方向向量v1旋转了ϕ度得到的；该处经线圈的切线的方向向量是由同经度上赤道处经线圈的切线方向向量旋转了θ度得到的，而该处同经度赤道上经线圈的切线方向，与晨昏线与赤道交点处的经线圈的切线方向是一致的，为v1'。
据此，得出：将晨昏线与赤道交点处的纬线圈切线的方向向量v1=（cosδ，-sinδ，0）在赤道平面内旋转ϕ度就得到所求的晨昏线上任意点处的纬线圈切线的方向向量，将晨昏线与赤道交点处的经线圈的切线方向向量v1'=（sinδ，cosδ，0）在过所求的点的经线圈平面内旋转θ度就得到所求的点处的经线圈切线的方向向量。
先求纬线圈切线的方向向量，它是由v1绕着赤道平面旋转ϕ度得到的，赤道平面的法向量p=（-sinδ，-cosδ，0），其中如果符号取负，旋转方向为逆时针，ϕ取正值，反之ϕ取负值。根据旋转公式，有
v2=v1cosϕ+p×v1sinϕ
=（cosδcosϕ，-sinδcosϕ，0）+（0，0，sinϕ）
=（cosδcosϕ，-sinδcosϕ，sinϕ）
得到v2=（cosδcosϕ，-sinδcosϕ，sinϕ）即为所求点处纬线圈切线的方向向量。
向量的叉乘可以用下面公式计算：c=（e1，f1，g1），d=（e2，f2，g2），c×d=（f1g2-g1f2，g1e2-e1g2，e1f2-f1e2），或者写为：
同时，v2垂直于所求点处经线圈所在平面，是该平面的法向量，将其写其相反向量v2’=（-cosδcosϕ，sinδcosϕ，-sinϕ），使旋转角度θ取正值，从而将v1’在该平面内旋转θ度所得到的向量是
v3=v1'cosθ+v2×v1'sinθ
=（sinδcosθ，cosδcosθ，0）+（-cosδsinϕ，sinδsinϕ，cos2δcosϕ+sin2δcosϕ）sinθ
=（sinδcosθ，cosδcosθ，0）-（-cosδsinϕsinθ，sinδsinϕsinθ，cosϕsinθ）
=（sinδcosθ+cosδsinθsinϕ，cosδcosθ-sinδsinθsinϕ，-cosϕsinθ）
至此，得到了所求点处经线圈的切线的方向向量为
v3=（sinδcosθ+cosδsinθsinϕ，cosδcosθ-sinδsinθsinϕ，-cosϕsinθ）
将经线圈的切线方向向量与纬线圈的切线方向向量叉乘，也可以验证太阳光线与经线圈切向、纬线圈切向共平面。（此处暂时省略）
这时，就可以求出v2或v3与太阳光线方向l=（1，0，0）的夹角了，先求v2与l的夹角，为了方便，将v2除以cosϕ，得到v2=（cosδ，-sinδ，tgϕ）不改变夹角：
cos<v2，l>=cosδ/√（1+tg2ϕ）
由几何推导得出δ，θ，ϕ之间的关系如下：
sinϕ=tgδtgθ
将上式中的tg2ϕ换用δ，θ表示，得
cos<v2，l>=cosδ/√（1+tg2δtg2θ/（1-tg2δtg2θ））
=cosδ/√（1/（1-tg2δtg2θ））
=cosδ√（1-tg2δtg2θ）
再求v3与l的夹角，可得：
cos<v3，l>=（sinδcosθ+cosδsinθsinϕ）/（1×1），
同样将sinϕ=tgδtgθ代入，可得
cos<v3，l>=sinδcosθ+sin2θsinδ/cosθ
=sinδ（cosθ+sin2θ/cosθ）
由三角恒等变换，知
cosθ+sin2θ/cosθ
=cosθ+（1-cos2θ）/cosθ
=cosθ+1/cosθ-cosθ
=1/cosθ
从而，
cos<v3，l>=sinδ/cosθ
以上所得的两个式子，其中分式和根式均当满足一定条件时才有意义，此外，求解反三角函数时，需要注意反余弦函数自变量的取值范围须在[-1，1]内，所以，所求夹角仅当满足一定条件时才存在，这是符合我们的认知的，因为，当两极地区出现极昼/极夜时，就无法计算日出/日落方位。
（1）日出方向与东西方向的夹角：
<v2，l>=arccos（cosδ√（1-tg2δtg2θ））（-1≤tgδtgθ≤1）
（2）日出方向与南北方向的夹角：
<v3，l>=arccos（sinδ/cosθ）（cosθ≠0且-1≤sinδ/cosθ≤1）
经过一些推导，我得出了求日出/日落方位的公式，但实际上，真实的日出/日落会受到大气折射的影响，造成日出的提前和日落的推后，从而导致日出/日落方位与我们这里计算的出现偏差，所以在实际中，这个公式用处不大，其实这里我推导这个公式的主要目的是为了验证之前提出的三个向量共面的结论。实际计算时，是采用一个使用更广泛的公式：
设某地的纬度为θ，当日太阳直射点的纬度为δ，当地当日太阳在任意高度角h时所对应的方位角为α：
cosα=（sinhsinθ-sinδ）/cosωcosθ
由于大气折射的原因，通常日出时刻太阳真实的高度角为-51"，所以只要将h=-51"代入这个公式算出α，就可以知道日出/日落的方位角角度了。
把公式输入到Excel里面，看下我们的计算结果：
不出所料，我们看到：日出方位全是東南，日落方位全是西南。
那当然了，只是角度不同。
于是又回到了地理课本中熟悉的结论：
北半球夏半年，全球日出日落东北和西北；北半球冬半年，全球日出日落东南和西南。
笔者以前一直以为同一天全球日出日落方位是一样的，现在认真计算才懂得是不一样的。
真实情况是中低纬度地区，同一天的日出日落方位相差不大，可以大概认为是一样的；
高纬地区差别就比较大了。
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