三元一次方程组的解法(二)
教学目标
1.使学生熟练地掌握用消元法解简单的三元一次方程组的一般方法;
2.通过对问题的一题多解,培养学生观察、分析问题及灵活地解题的能力;
3.进一步理解消元法解方程组时体现的化归意识.
教学重点和难点
重点:灵活地用代入法或加减法解三元一次方程组.
难点:正确地选择消元的方法.
课堂教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
不解方程组,指出下列方程组中先消去哪个未知数,使得求解方程组较为简便?(投影)
结合学生的回答情况,教师指出,第1题由②×2+③×7,消去z,得到方程④,由④与①组成关于x、y的二元一次方程组;第2题由①-②消去y,得方程④,④与③组成关于x、z的二元一次方程组,或由①-③消去x,得方程④,④与②组成关于y、z的二元一次方程组,或由②-③消z,得方程④,④与①组成关于x,y的二元一次方程组.
教师进一步追问:对上述方程组是否还有简便方法求解呢?先由学生思考回答,然后教师补充小结:通过观察方程组的构成特点,发现第1题方程①、③中x与y的系数对应相等,因此可由③-①消去x与y项,求出z值,再将z值代入②得方程④,④与①组成关于x,y的二元一次方程组.第2题由①+②+③,得
x+y+z=30, ④
再由④-①,④-②,④-③分别求出x,y,z.
二、讲授新课
本节课,我们继续来学习三元一次方程组的解法.
例1 解方程组
分析时,引导学生观察方程组中每一个方程的构成情况,并提出以下问题:
1.每个方程是否有缺项?
2.怎样通过消元,使“三元”转化为“二元”?用代入法解行吗?
(由于方程组中每个方程中的每一未知数的系数绝对值都不是1,因此将某一方程变形用代入法解较繁,用加减法解较好)
3.用加减法解消哪个未知数求解较为简捷呢?
(用加减法解,应选择消去系数绝对值的最小公倍数的最小的未知数)
解:①+③,得 5x+5y=25. ④
②+③×2,得 5x+7y=31. ⑤
由④与⑤组成方程组
把x=2,y=3代入①,得
3×2+2×3+z=13,
所以 z=1.
此时,结合上述例题的解答过程,教师应再次提出问题:
1.先消未知数x或y可以吗?比较上述三种不同的消元选择,哪种消元选择更好呢?
例2
解方程组
将④,⑤分别代入①,得
所以 y=45.
把y=45分别代入④、⑤,得
x=30,y=36.
本题也可作以下分析:
y∶x=3∶2,即x∶y=2∶3=10∶15,而y∶z=5∶4=15∶12,故有x∶y∶z=10∶15 ∶12.因此,可设x=10k,y=15k,z=12k.将它们一起代入①中求出k值,从而求出x、y、z值.
解法二:由②,得x∶y=2∶3,
即 x∶y=10∶15.
由③,得 y∶z=5∶4,
即 y∶z=15∶12.
所以 x∶y∶z=10∶15∶12.
设,x=10k,y=15k,z=12k,代入①中得 10k+15k+12k=111,
所以 k=3.
故 x=30,y=45,z=36.
三、课堂练习
A.先消去x; B.先消去y;
C.先消去z; D.以上说法都不对.
3.解下列方程组:
四、师生共同小结
在师生共同回顾本节课所学内容的基础上,教师指出,一般地,用消元法解三元一次方程组,要先观察方程组中未知数的系数情况,然后再决定是用代入法还是用加减法来解.对于方程组中方程间系数成比例,或具有一定联系的特殊情况,可采取观察、分析,巧解的程序来求解.
五、作业
解下列方程组:
联系客服