新高考2卷的导数压轴题:
重点说第2问——恒成立问题.
1
必存在看着高大上,但容易扣分
第2问也属于大家熟悉的“端点效应”问题.
下面是我在网上找到的还算靠谱的答案,比那些lim的答案强太多了.
这个不难理解.
因为函数是连续的,不可能从正值直接蹦到负值,所以左右两侧也是正值.
但是涉及到函数的连续性,有超纲嫌疑.各地、各年判卷松紧不一,可能会扣分.
如何用初等数学的内容来说理呢?
有两个搞法.
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搞法1:多次求导,化为一次
我在专栏《导数综合要你命》的最后结语里讲到:导数的核心能力是分类讨论.
谁搞透了分类讨论,谁就拥有了化繁为简、条分缕析的能力.
到了红笔部分,就是纯粹的一次讨论了.
这里考验的就是讨论的硬功夫.
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搞法2:改变形式,一次减指数
这里导函数形式的优化是关键.
比较困难的是a∈(0.5,1)这一段的说理.
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临界位置:0.5和1是如何找到的?
根据端点效应的模型,端点处的导函数值不为零,是第一个讨论的位置.
本题f(0)=0,f'(0)=0,但是h'(0)=2a-1,所以0.5是临界位置.
那么,1是如何找到的呢?
是根据f'(x),即h(x)的结构确定的.
h(x)的结构是一次函数减去指数函数.
如果指数函数为正指数幂,长期来看,它一定会超过一次函数.
因此1成为了临界位置.
5
切入点:原还是导?
你可以看到,解决这类恒成立问题主要有两招:
一是正面来论证,说明条件充分.
二是反面找矛盾,说明条件必要.找到矛盾点、或者矛盾区间均可.通常在导函数中找矛盾区间,在原函数中找矛盾点.
而切入点其实有多个选择:原函数,一阶导,二阶导,多阶导?
比如解法1正面论证时,第3)步从导函数切入,第4)步从原函数切入.
比如解法2,正面论证时,直接从原函数切入;反面找矛盾时,a≥1时在原函数中找矛盾点,0.5<a<1时在导函数中找矛盾区间.
也就是说,正面说理和反面找矛盾都有多种选择,这样做排列组合的话,一道题的解法就会千姿百态.
当然各种解法会有优劣之分,根据题目条件的不同,这就要求我们临场时要灵活选用.
前提是要有这个意识——原函数和导函数都可能是好的切入点,而不是仅仅盯着某一个,可以搭配使用.
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一种瞒天过海的解法:错在哪里?
说明必要性时,在网上我看到下面这样一种解法.
无意诋毁同行,老左也经常犯错误,只作为教学探讨.
这个取点的漏洞在哪里?欢迎留言,我们一起进步.
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