新教材里潜在的高考题系列20：公共项数列有大招

新教材好文系列继续，今天说一说教材里的公共项数列.

所谓公共项数列，就是把两个数列的公共项单调拿出来，组成一个新数列，这个数列就成为“公共项数列”.

人教A版选择性必修第2册第25页，综合运用的第8题.

本题考查的就是，两个等差数列的公共项.

1

等差和等差的公共项：大招定理（瞎编的）

一般给定两个递增的正整数等差数列，通常有下面的规律：

若等差数列{an},{bn}的公差分别为d1和d2，d1,d2为正整数，则它们的公共项数列也为等差数列，且新数列的公差d为d1,d2的最小公倍数.

所以解题过程分两步走：

1. 找出公共项的首选，用列举法即可.
2. 找到两等差数列的公差d1，d2的最小公倍数.
3. 知道了新数列的首项和公差，就可以写成新数列的通项公式.

这个道理也好理解.（请读者朋友们自行思考为什么）

看一道2020年新高考I卷的高考真题.

分析：通过列举，容易发现公共项首项为1.新公差是2和3的最小公倍数6.

因此，新数列的通项公式为6n-5.

2

等差和等比的公共项

面向未来思考，命题人可能会出等差数列和等比数列的公共项问题.

比如，求an=3n-1 bn=2^n的公共项数列.

首先，依然是用列举法，确定首项为2.

其次，研究等比数列的相邻项之差，是否是等差数列公差的整数倍.

如果不是，继续算隔项差，是否满足...继续下去.

以上面这道题为例：

这说明等比数列的奇数项是符合题意的.

因此，新数列的通项公式为：

还有一个办法，就是用二项式定理，有兴趣的朋友不妨尝试尝试.

本节内容较新颖，读者朋友们不妨多读几遍，反复体会其中奥妙.

最后留一道思考题，供读者朋友们练练手.

求数列an=4n-1与数列bn=3^n的公共项数列{cn}的通项公式.

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