数列求和的放缩方法3

请看下面这个栗子.

分析：首先要通过数列递推式研究数列的通项.

对于分式型的递推公式，我们通常采用两边取倒数的方法.

对于上面这种形式的递推公式，一般采用待定系数法朝等比数列去拼凑.

下面求出这个等比数列和数列{an}的通项公式.

所证不等式左边为一个新数列求和的形式，首先写出这个新数列的通项公式.

数列{bn}不是等差数列，不是等比数列，也不符合其他能求和的形式，因此不能直接求和，需要进行适当的放缩.

1.数列要放大，因为不等式用的是小于号；

2.朝等比数列或者裂项相消法去放缩.

很多复杂数列的放缩可能不是一蹴而就的，需要反复摸索、论证.

方案1：分子常数法

简单点说，就是把分子调整为常数，使得变量都集中到分母上.因为对于这样的分式来说，如果我们同时考虑分子和分母的变化，思维量会比较大.分子常数化处理使得我们的思考变得集中.

下面进行放缩处理,因为bn要放大，所以分子要缩小.

为保证分母有意义，n必须大于等于2.

但是，bn的形式还达不到要求，需要继续放缩.

各位看官，还记得从数列求和的放缩方法2中学到的结论吗？

注意，因为n大于等于2，第一项是不参与放缩的.

所以，当n大于等于2时，可以这样求和：

显然，当n=1时不等式也成立.

方案2：构造裂项相消的形式

哪些形式的数列求和能够采用裂项相消法呢？

除此之外，还有一些数列属于“第二眼美女”：乍看不能用裂项相消法求和，仔细分析后发现能用.

我们发现，分母中相乘的两项如果作差，结果是4(n+1),是分子的4倍，这样就为使用裂项相消法创造了条件.

再比如下面这个数列.

分母中相乘的两项作差，结果是4（n+1），是分子的4倍.根据上面的分析，这个形式的数列也能采用裂项相消法求和.

经验就是：遇到分式型的数列通项，要考虑分母中相乘的两项之差是否是分子的倍数，从而判断有无可能采用裂项相消法求和.

回到本题，我们来摸索有无这样的可能性.

小伙伴们不要惊呆了.

这个放缩过程也经历了一段时间的摸索，需要一定的数学经验.相对而言，方案1属于通法的范畴，方案2技巧性更强一些.

注意，放缩过程中，为保证分母有意义，n必须大于等于2，即第1项不参与放缩.

当n大于等于2时，可以这样求和：

显然，当n=1时不等式也成立.

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