已知在△ABC和△DBE中,AB=AC,DB=DE,且∠BAC=∠BDE.(1)如图1,若...
(2011?门头沟区二模)已知在△ABC和△DBE中,AB=AC,DB=DE,且∠BAC=∠BDE.
(1)如图1,若∠BAC=∠BDE=60°,则线段CE与AD之间的数量关系是
CE=AD
;
(2)如图2,若∠BAC=∠BDE=120°,且点D在线段AB上,则线段CE与AD之间的数量关系是
;
(3)如图3,若∠BAC=∠BDE=α,请你探究线段CE与AD之间的数量关系(用含α的式子表示),并证明你的结论.
分析:(1)由题意易证得△ABD≌△CBE,由全等三角形的对应边相等,即可求得即可求得线段CE与AD之间的数量关系是CE=AD;
(2)首先过点A作AM⊥BC于M,过点D作DN⊥C于N,即可得∠B=30°,由三角函数的性质,即可得BC=
AB,又由∠BDE=∠BAC证得DE∥AC,由平行线分线段成比例定理即可求得CE=
AD;
(3)首先由AB=AC,DB=DE,可得
=
.则可得ABC∽△DBE,然后又可求得△ABD∽△CBE,则
=
,然后过点D作DF⊥BE于点F.由三角函数的性质即可得CE=2sin
AD.
解答:解:(1)CE=AD;
(2)CE=
AD.
理由:过点A作AM⊥BC于M,过点D作DN⊥BC于N,
∵AB=AC,DB=DE,∠BAC=120°
∴∠B=30°,BN=EN,BM=CM,
∴cos∠B=
= =
,
∴BE=
BD,BC=
AB,
∵∠BDE=∠BAC,
∴DE∥AC,
∴
= ,
∴
= = ,
∴CE=
AD.
(3)CE与AD之间的数量关系是CE=2sin
AD.
证明:∵AB=AC,DB=DE,
∴
=
.
∵∠BAC=∠BDE,
∴△ABC∽△DBE.
∴
=
,∠ABC=∠DBE,
∴
=
,∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC=∠CBE,
∴△ABD∽△CBE,
∴
=
,
过点D作DF⊥BE于点F.
∴∠BDF=
∠BDE=
,
∴BE=2BF=2BD?sin∠BDF=2BD?sin
,
∴
=
,
∴CE=2sin
AD.
点评:此题考查了相似三角形、全等三角形的判定与性质,平行线分线段成比例定理,三角函数的性质以及比例变形等知识.此题综合性很强,解题的关键数形结合思想的应用.
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