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在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D是边BC上一点,连接AD,∠ABD的角平分线交AD于点E,
(1)如图1所示,∠BAD=30°,若CD=2,求DE的长;
(2)如图2所示,点F为AC上一点,过点F作FO⊥AD于点O,若点O恰好平分线段AD,求证:CF=BE+
CD;(3)如图3所示,点P为边AC上一点,且满足AP=BE,过点P作PQ⊥AD于点Q,连接BQ,当BQ最短时,请直接写出
的值.解:(1)如图,设BD=m,则AB=
m,而BA=BC,得m+2=m,得m=+1,AD=2+2,由角平分线定理得AE:DE=AB:BD,故DE=2另法,连接CE,易知△BEA≌△BEC,得∠DCE=30°,而∠ADB=60°,故∠DEC=30°,故DE=DC=2
(2) 过点D作DM⊥AC于点M,连接OB、OM,O为AD的中点,故OB=OM=OA=OD,设∠CAD=α,∠BAD=β,则∠BOD=2β,∠MOD=2α,故∠BOM=90°,而∠DOF=90°,故∠BOE=∠MOF;而∠BEO=180°-β-45°=135°-β,∠OFM=90°+α=90°+45°-β=135°-β,即有∠BEO=∠OFM,于是△BOE≌△MOF,BE=FM,而CM=
CD,故CF=BE+CD(3) 过点A作AG⊥AB交QP延长线于点G,作BFAD于点F,∠BEF=45°+∠BAD,∠APQ=90°-∠PAQ=90°-(45°-∠BAD)=45°+∠BAD,故∠BEF=∠APQ,而AP=BE,∠AQP=∠BFE,故△APQ≌△BEF,
而AQ=BF,∠BAF+∠GAQ=90°,∠ABF+∠ABF=90°得∠GAQ=∠ABF,∠BFA=∠AQG=90°,得△AGQ≌△BAF,AG=AB,设AB=2,则点Q在以AG为直径的圆上运动,圆心为M,当B、Q、M共线时BQ取最小值;此时BQ=
-1,,而BD=-1,由角平分线定理知SABE:SBDE=2:(-1),,故点评:题目第二问可能对很多同学而言有难度,主要在于辅助线作不出来;思路可能有蛮多,但中点联想到的辅助线,可能让很多同学没有想到;而压轴一问仍然以全等开头,考查动点轨迹,后续的计算也略显复杂,对学生确实是一个重大考验!
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