第36讲：《一般项（变号）级数敛散性判定法》内容小结、课件与典型例题与练习

一、交错级数及收敛性的判定

交错级数即正负项交替出现的级数，其收敛性判定首选方法为莱布尼兹判别法，即不包含符号的通项单调递减趋于 ，则级数收敛.

莱布尼兹判别法：设 ，如果数列 单调减少且 ，则交错级数级数

收敛，且 ；级数收敛时，记其和与前 项部分和分别为 ，则

【注】 莱布尼兹判别法只能用来判定交错级数收敛，不能用于判定发散.

二、一般变号级数

一般变号级数是指构成级数的项中有正有负的级数，当然也包括了交错级数. 如果一般变号级数的所有项加上绝对值后构成的绝对值级数收敛，则原级数一定收敛，并且称原级数绝对收敛；如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称原级数条件收敛。

【注1】 如果用比值、根值判别法直接判断一个级数对应的绝对值级数发散，则原级数一定发散，因为一般项不趋于 .

【注2】 由于绝对值级数收敛原级数一定收敛，用比值、根值判别法判定绝对值级数发散级数一定发散. 因此，一般变号级数的敛散性的判定首选用比值、根值判别法来判定其对应的绝对值级数的敛散性！在该思路失败的情况下再考虑其它方法来确定级数的敛散性.

三、绝对收敛级数的性质

绝对收敛的级数符合加法的交换律和乘法的分配律，即绝对收敛的级数可以任意交换项相加其敛散性与和值不变，两个绝对收敛的级数相乘构成的级数仍然收敛，并且和就为两个级数的和的乘积. 由于绝对收敛级数满足交换律，故乘积构成的级数常描述为柯西乘积，即

【注1】 条件收敛的级数可以通过调整级数的项的前后次序收敛到任意指定的数. 即条件收敛的级数不符合加法交换律.

【注2】 数值级数收敛性的判定给出了极限为零数列的一种证明与计算方法. 将数列视为级数的通项，如果能够判定级数收敛，则数列收敛并且极限值为 ；另外也有数列与级数收敛性一致的一个等价描述. 即

(1) 如果级数 收敛，则 ；

(2) 级数 与数列 具有相同的敛散性.

关于常值级数敛散性判定的一般计算思路、方法与步骤详细的讨论请参见“第五届全国大学生数学竞赛初赛非数学竞赛试题解析”(点击直接打开)中“第三题：常值级数收敛性判定的一般思路与方法”教学视频！