(A)a; (B)1/a; (C) an-1; (D)an.
【参考答案】:由于| A*|= |A|n-1,所以答案为(C).
(2) (1994年数学一) 设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵. 当A*=AT时,证明:|A|≠0.
【参考答案】:设A=(α1, α2, …, αn)T,其中αi(i=1,2,…,n)为A的行向量,所以有
由公式AA*=|A|E,根据已知A*=AT,有A AT =|A|E。
考虑反证法:如果|A|=0,则有
这与A为n阶非零方阵矛盾,所以|A|≠0.
(3)(1995年数学一) 设A是n阶矩阵,满足AAT=E(E是n阶单位矩阵,AT是A的转置矩阵),|A|<0求|A+E|.
【参考答案】:因为
由于|A|<0,所以1-|A|>0,所以|A+E|=0.
(4)(1996年数学一) 计算
【参考答案1】:记行列式为V,则按第一行展开
【参考答案2】:依据行列式的拉普拉斯展开法则,将行列式按第2,3行展开,于是有
(5) 设A为三阶方阵,|A|=1/3,计算
【参考答案】:由于
所以有
(6) 设A为三阶方阵,|A|=3,A=(A1,A2,A3),计算
【参考答案】:
(7) 设A为三阶正交矩阵,|A|<0,B是3阶方阵,|B-A|=4,计算|E-ABT|.
【参考答案】:由题设,有
所以
(8) 设A为三阶方阵,Aij=aij,a11≠0,则|A|等于多少?
【参考答案】:因为
所以
又因为
(9) (1988年数学一)设A,B均为四阶方阵,且有
α, β, γ2, γ3,γ4均为四维向量,计算|A+B|.
【参考答案】:由
所以有
(10) 设α1, α2, α3,β1, β2,均为四维向量,
计算|α3, β1+β2,α2, α1|.
【参考答案】:
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