《三重积分球坐标和柱坐标计算方法》内容小结、题型与典型题

一、三重积分的柱坐标计算方法与步骤

1、适用的三重积分类型

被积函数中有两个变量的平方和或者两个变量相除，如x²+y²,y²+z², z²+x²,x/y,y/z,z/x,y/x,z/y,x/z等结构；或者积分区域由母线平行于坐标轴的半平面、圆柱面，平行于坐标面的平面围成的时候，这样的三重积分可以考虑柱坐标计算方法，即三重积分开始计算的二重积分或者后面计算的二重积分适用于二重积分的极坐标计算方法时，则考虑柱坐标计算方法。

2、计算思路

三重积分的柱坐标计算方法其实就是三重直角坐标系中“先二后一”或“先一后二”计算方法中，那个二重积分采用了极坐标方法来计算而已。如果在计算过程中将三重积分中的所有那两个变量全部用极坐标变量来描述，那就是柱坐标计算方法；否则称为直角坐标方法，可以说在求解过程中基本上没有产生新的方法。不过能够更好地适用于三重积分的计算区域为简单类型，其投影区域为极坐标系中的简单类型的三重积分。所以能够使用“先一后二”（投影法）计算的三重积分可以考虑使用柱坐标计算方法。

3、具体的计算步骤

第一步：根据积分区域特征与被积函数表达式，选择确定用极坐标描述的两个变量（如x,y变量）；

第二步：借助柱坐标与直角坐标的关系，将围成积分区域的边界曲面方程描述为柱坐标方程，并将被积函数表达式描述为柱坐标描述形式。

第三步：根据三重积分直角坐标系中“先一后二”的计算方法确定非极坐标变量的上下限，得到一个定积分描述形式，如

第四步：将结果作为投影区域上的被积函数，并用极坐标的方法计算二重积分，假设积分区域是简单的θ-型区域，则有

二、三重积分球坐标计算方法与步骤

【注】球坐标系下空间区域的分类及定限方法，球坐标系及球坐标与直角坐标之间的关系参见推文《柱坐标、球坐标与直角坐标之间的关系与区域分类及类型确定方法》与下面给出的课件列表。(点击进入)。

1、三重积分球坐标计算方法与步骤

第一步：转换边界曲面方程描述。将围成积分区域的边界曲面方程用球坐标变量描述。

第二步：在球坐标系中确定积分区域类型，选择积分计算次序。

第三步：确定积分变量上下限，参照球坐标系下空间区域的定限方法确定各球坐标变量的积分上下限。

第四步：计算累次积分得到最终结果。

2、使用球坐标计算三重积分注意事项

【注1】球坐标系下空间区域的分类及定限方法，球坐标系及球坐标与直角坐标之间的关系参见《柱坐标、球坐标与直角坐标之间的关系与区域分类及类型确定方法》与下面给出的课件列表。(点击进入)

【注2】三重计算的球坐标计算方法一般适用于被积函数为三个平方项，或者能够转换为三个平方项描述的被积函数；积分区域则适用于由锥面、半平面和球面所围的积分区域；当然，如果三重积分使用其他计算方法不方便计算的时候，则也可能需要考虑球坐标的计算方法。

【注3】不管是使用直角坐标方法，还是柱坐标或者球坐标方法计算三重积分，在构造累次积分表达式之前，应该充分考虑积分区域整体或者部分关于坐标面或者关于原点的对称性，同时结合考虑被积函数整体或者通过加减运算拆项后的函数的奇偶性，如果匹配“偶倍奇零”计算性质要求，则首先考虑先借助“偶倍奇零”性质简化计算，另外也考察积分区域是否具有“轮换对称性”，如果有，则考虑使用轮换对称性转换积分计算；然后再考察或者尝试三种累次积分方法，选择最适合的方法构造累次积分表达式，完成三重积分的计算过程。

参考课件节选：