过圆锥曲线上一点作切线的方法(第一部分)

作圆锥曲线的切线，也是一个比较有意思的问题。网上这方面的资料虽然有一些，但比较零散，本文汇集了笔者所能见到的几种方法，并给出详细的证明。按，本文很多地方如果用射影几何研究当更为简洁，但遗憾的是笔者没有学过，所以这里基本只利用传统初等几何和解析几何的方法，只有个别地方涉及帕斯卡定理和投影法。（感谢邵勇老师和蒋迅老师的帮助）

方法一：已知两个焦点位置

作法：

对椭圆（图 1）：

1. 连接 、；
2. 作角 的平分线 ，其中 是 延长线上的点。

直线 即为所求。

对双曲线（图 2）：

1. 连接 、；
2. 作角 的平分线 。

直线 即为所求。

对抛物线（图 3）：

1. 连接 ；
2. 过 作对称轴的平行线  ，设 为平行线上在抛物线外的一点；
3. 作 的平分线 。

直线 即为所求。

证明：

根据圆锥曲线光学性质可证。

方法二：已知一个焦点和对应的准线

作法：

1. 连接 ；
2. 过 作 的垂线，交准线于 点；
3. 连接 。

直线 即为所求。

证明：

以椭圆为例，建立坐标系，设左焦点 ，，，

椭圆方程为 。

则在直角三角形 中，由 得：

，（勾股定理），

整理得到 满足的方程：

又知道过 点切线方程为

将 带入（2），得到切线与准线交点的纵坐标 满足 ，

与（1）对照，可知 满足该方程，

即点 在切线上。

得证。

方法三：

作法：

1. 在其上任取 、、、 四点；
2. 连接 、，延长线交于点 ；
3. 连接 、，延长线交于点 ；
4. 连接 ；
5. 连接 ，延长线交直线 于点 ；
6. 连接 。

直线 即为所求。

证明：

根据圆锥曲线的帕斯卡定理，

圆锥曲线内接六边形的对边连线交于三个点，此三点共线。

在图中，设 附近有一点 ，不妨设为在 之间，

则直线 与 交点、直线 与 交点、直线 与 交点共线。

当 趋近于 时，第一个交点趋近于 ，第二个交点为 不变，第三个交点趋近于过 点切线与 交点，也在直线 上，即是 与 的交点 。

得证。

方法四：适用于椭圆和双曲线， 是中心，给出长轴（或实轴）

作法：

对于椭圆：

1. 以长轴为直径作圆；
2. 过 点作长轴的垂线，交长轴于点 ，交圆 于 点；
3. 过 作圆 的切线 ，交长轴延长线于 点；
4. 连接 。

直线 即为所求。

对于双曲线：

1. 以实轴为直径作圆；
2. 过点 向实轴作垂线，交实轴延长线于 点；
3. 过 向圆 作切线，切点为 ；
4. 过 作 垂直 于 点；
5. 连接 。

直线 即为所求。

证明：

以椭圆为例，建立坐标系，

过椭圆 上的点 的切线方程为 ，

该切线与 交点坐标为 ，与 无关。

即所有以点 为轴的椭圆或圆，只要已知点的横坐标不变，过该点的切线与 轴交点即不变。（不论 、 大小关系如何）

根据作图过程，点 在以椭圆长轴为直径的圆 的切线上，

所以点 也在过 点的椭圆切线上。

得证。

方法五：适用于椭圆和双曲线，、 为长轴（实轴）端点

作法：

1.过 向长轴（实轴）作垂线，交圆锥曲线于 点；

2.连接 、 并延长，二者交于 点；

3.过 向长轴（实轴）所在直线作垂线，垂足为 点；

4.连接 。

直线 即为所求。

证明：

以椭圆为例，建立坐标系，设 ，，，则 。

直线 方程为 ，

直线 方程为 ，

易验证 是二者交点 的坐标， 即为 坐标。

过椭圆 上的点 的切线方程为 ，

易验证 坐标满足该方程，即 是切线上的点。

方法六：适用于抛物线， 是抛物线端点

作法：

1. 过 向对称轴作垂线，垂足为 ；
2. 作 点关于 点的对称点 ；
3. 连接 。

直线 即为所求。

证明：

建立坐标系，过抛物线 上的点 的切线方程为 ，

因为 是点 关于抛物线顶点的对称点，而点 坐标为 ，

所以 。

易验证 点坐标满足切线方程，

得证。

(未完待续，余下方法7~11将在下一篇发布)