（一）寻找“超复数”
还是在16世纪，欧洲人在用配方法解二次方程时，希望把平方根的算术运算推广到任何数上，这样就碰上了复数——当时称为“虚数”。
例如，卡丹在《大术》（1545）中说，可以把10分成两个部分，而使得它们的乘积为40，也就是解方程x（10-x）=40，得到的两个“根”为5 √(-15)和√5——15。对于这种神奇的数，卡丹说“不管受到多大的良心责备”，“算术就是这样神妙地搞下去，它的目标，正如常言所说，是又精致又不中用的”。邦贝利也碰到了这样的麻烦，虽然他几乎像现代形式那样规定了复数的四种运算，但他仍然认为复数“无用”而且“玄”。笛卡尔也抛弃复根，并选择了“虚数”这个名称，甚至牛顿也不承认虚根是有意义的。复数的出现造成的这种迷茫的“太虚幻境”，反映在莱布尼兹如下的陈述中：
圣灵在分析的奇观中，找到了超凡的显示。这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚的-1的平方根。
1797年，挪威出生的测量员韦塞尔（Caspar Wessel，1745—1818）迈出了对复数认识的重要一步。在论文《关于向量的分析表示：一个尝试》中，韦塞尔引入了一根虚轴，并以√(-1)作为单位，这就是我们今天所学习的复数的几何表示。在使人们接受复数方面，高斯做了卓有成效的工作。他指出正是复数的几何表示才使得人们对虚数真正有了一个新的认识。他引进了术语“复数”（complex number）以与“虚数”（imaginary number）相对立，并用i来代替√(-1)。
向量，即可以代表力、速度或加速度的具有大小、方向的有向线段，进入了数学后，马上就获得了它的代数形式——复数。但是，复数只能表示在同一个平面上物体受力的情况。如果作用于一个物体上的几个力不在一个平面上，就需要一个三维的类似物。可以用来表示空间向量的代数形式是什么呢？数学家们开始了寻找所谓“三维复数”的努力。对此作出重要贡献的是爱尔兰的数学家哈密顿（William R.Hamilton，1805—1865）。
（二）四元数：A×B=B×A吗？
哈密顿少年时代在语言方面有着常人无法比拟的才能，5岁时掌握了拉丁文、希腊文和希伯来文，8岁学会了意大利语和法语，10岁时开始学习梵文，甚至还要学习汉语。可是，14岁时，一位来自美国的速算少年的表演，让哈密顿的才能没有浪费在掌握那些无用的语言上——他迷恋上了数学。17岁时，他通过自学微积分掌握了数学，并获得了充分的天文学知识。1823年，哈密顿考入都柏林的三一学院。1827年他的《光束理论》建立了几何光学的科学，这篇论文发表在《爱尔兰皇家科学院学报》上。为此，哈密顿被任命为三一学院的天文教授，并得到了爱尔兰皇家天文学家的头衔。所以，哈密顿在当时作为物理学家的名气要比作为一个数学家的名气大得多。
哈密顿推广复数的工作是从他把复数处理成实数的有序数偶开始的。1837年，哈密顿在《共轭函数及作为纯粹时间的科学的代数》一文中，首先对复数符号的实质作了解释。他指出，复数a bi不是2 3意义上的和，加号的使用是历史的偶然，而bi是不能加到a上去的。复数a bi不过是实数的有序偶（a, b），在此意义下，复数的四则运算应该是

这样，通常的结合律、交换律和分配律都能推导出来。
哈密顿澄清了复数的概念，这使他能更清楚地思考怎样引进它的三维空间的类似物。他首先想到的是，既然是复数的扩展，那么把这个“类似物”表示为a bi cj的形式是自然的。但是，哈密顿碰到了问题：模法则不成立了！我们知道，对于两个复数，它们乘积的模等于这两个复数模的乘积，即
｜z z1｜=｜z｜｜z1｜，｜z2｜=｜z｜2
对于三维复数a bi cj，若
｜（a bi cj）2｜=｜（a bi cj）｜2
必须有
i j=0
但是｜i｜=1，｜j｜=1，怎么会有｜i j｜=0？于是，哈密顿假设i j=k，而j i=-k，即交换律不成立了，但是，这样的假设保证了模法则是成立的。那么，这个不请自来的k究竟是什么呢？这只好迫使哈密顿考虑下面的一般的乘积：
（a bi cj）（x yi zj）=
（ax-by-cz） （ay bx）i （az cx）j （bz cy）k
他发现在这个乘积中，模法则正好成立。如果把k设想为同时垂直于单位向量1，i, j的新单位向量，那么上述等式表示了：两个属于三维空间的向量乘积，是一个四维空间的向量。真是莫名其妙！
这样，哈密顿只得放弃对“三元复数”的追求，而着手考虑新数“a bi cj dk”。经过十多年的苦思冥想，灵感终于来了！
那是1843年10月16日的黄昏，哈密顿携夫人一道去都柏林出席爱尔兰皇家学会会议，当步行到勃洛翰桥的时候，长期思考问题的大脑中突然亮出了一道“闪电”，他写道：“此时此地，我感到思想的电路接通了，而从中落下的火花，就是i, j，k之间的基本方程，恰恰就是我此后使用它们的样子。”
哈密顿发现自己被迫作出两个让步：第一，他的新数必须包含四个分量；第二，他必须放弃乘法交换律。这两条对于代数学都是革命性的，他把这个新的数
a b i c j d k（a, b，c, d为实数）
称为“四元数”。下表是四元数的运算表。
表11.1 四元数的基本算律
下面计算两个四元数的乘积作为示例：
p=3 2i 6j 7k, q=4 6i 8j 9k
p·q=-111 24i 72j 35k
q·p=-111 28i 24j 75k
所以，有p q≠q p。
1843年，哈密顿在爱尔兰皇家科学院会议上宣告了四元数的发明。这是他15年思索的结晶，也是他后来22年研究工作的开始。一位英国人曾这样评价哈密顿：“牛顿的发现对于英国及人类的贡献超过了所有英国的国王；我们无可置疑的1843年哈密顿的四元数的伟大数学的诞生，对人类所带来的真正利益，是和维多利亚女皇时代的任何大事件一样重要的。”
数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱，便会产生无可估量的创造力。哈密顿的四元数的发明，使得数学家们认识到既然可以抛弃实数和复数的交换律去构造一个有意义、有作用的“数”，那么，就可以较为自由地考虑甚至偏离实数和复数的通常性质去构造人为的“数”——通向抽象代数的大门被打开了！
