高三磁场基本功训练23题及答案

《高三磁场基本功训练23题》

                   （找圆心，求半径，描轨迹，察边界，空间想象，再添数学思维）   

1．一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率v垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于纸面向里。（1）求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离。（2）如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P，试写出直线OP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系式。

2．（磁场圆问题）如图所示，分布在半径为r的圆形区域内的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里。已知带电量为q（粒子带负电）、质量为m的粒子从磁场的边缘A点沿圆的半径AO方向射入磁场，穿过磁场区域后，速度方向偏转了60°角。（不计该粒子的重力）（1）请画出该带电粒子在该圆形区域内的运动轨迹的示意图。（2）请推导该带电粒子在进入该圆形区域时的入射速度的大小v0的表达式。

3.（磁场圆问题）电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的.电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示.磁场方向垂直于圆面.磁场区的中心为O，半径为r.当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点.为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？(电子荷质比为e/m,重力不计)

4．如图所示，在x轴的上方（y＞0的空间内）存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带正电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成45°角，若粒子的质量为m，电量为q（1）该粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径；（2）粒子在磁场中运动的时间。

5．如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B、方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点Ｏ． Ｏ点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为

的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍．已知该带电粒子的质量为

、电荷量为

，不考虑带电粒子的重力．（1）求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角；（2）沿磁场边界放置绝缘弹性挡板，使粒子与挡板碰撞后以原速率弹回，且其电荷量保持不变．若从Ｏ点沿x轴正方向射入磁场的粒子速度已减小为

，求该粒子第一次回到Ｏ点经历的时间．

6．如图所示，边长为L的等边三角形ABC为两有界匀强磁场的理想边界，三角形内的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，三角形外的磁场（足够大）方向垂直纸面向里，磁感应强度大小也为B。把粒子源放在顶点A处，它将沿

的角平分线发射质量为m、电荷量为q、初速度为v0­的带电粒子（粒子重力不计）。若从A射出的粒子：

①带负电，

，第一次到达C点所用时间为t1

②带负电，

，第一次到达C点所用时间为t2

③带正电，

，第一次到达C点所用时间为t3

④带正电，

，第一次到达C点所用时间为t4

则下列判断正确的是（  ）

A．

          B．

           C．

           D．

7．在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出。（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m；（2）若磁场的方向和所在空间范围不变而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？

8．如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A₂A₄为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，直径A₂A₄与A₁A₃的夹角为60°．一质量为m、带电荷量为+q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A₁处沿与A₁A₃成30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A₂A₄的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后

从A₄处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t．（忽略粒子重力）．
（1）求粒子在Ⅰ区和Ⅱ区中的速度偏角φ₁和φ₂
（2）求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小B₁和B₂．

9．如图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10^-3T，在x轴上距坐标原点L=0.50 m的P处为粒子的入射口，在y轴上安放接收器。现将一带正电荷的粒子以v=3.5×10⁴ m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50 m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m、电量为q，不计其重力。（1）求上述粒子的比荷

(2)如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场就可使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

10.如图所示，真空中有直角坐标系

，P是坐标中的一个点，坐标是（

）．有一质量为m、电荷量为+q的质点A从原点O沿y轴正方向以速度

射出，不计重力的影响.（1）若在

≥0和

≥0的区域内加一个垂直于坐标系平面的匀强磁场，使质点A能通过P点．试求出磁感应强度B的大小和方向以及质点A从坐标原点O运动到P点的时间t；（2）若在

轴上固定一个带负电的点电荷C，使质点A能保持速率不变，并通过P点．求点电荷C与坐标原点O的距离和点电荷C所带电荷量的大小,已知静电力常量为k.

11．如图所示,l₁和l₂为距离d＝0.lm的两平行的虚线,l₁上方和l₂下方都是垂直纸面向里的磁感应强度均为B＝0.20T的匀强磁场，A、B两点都在l₂上．质量m＝1.67×10^－27kg、电量q＝1.60×10^－19C的质子，从A点以v₀＝5.0×10⁵m/s的速度与l₂成θ＝30°角斜向上射出，经过上方和下方的磁场偏转后正好经过B点，经过B点时速度方向也斜向上．求（结果保留两位有效数字）：1.质子在磁场中做圆周运动的半径；2. A、B两点间的最短距离；3.质子由A运动到B的最短时间．

12．（最小圆问题）如图所示，一个质量为m，带电量为+q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30º.粒子的重力不计，试求:（1）圆形匀强磁场区域的最小面积.（2）粒子在磁场中运动的时间.（3）b到O的距离.

13（边界范围问题） 如图所示，宽h＝2 cm的有界匀强磁场的纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向里．现有一群正粒子从O点以相同的速率沿纸面不同方向射入磁场．若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径r均为5 cm，不计粒子的重力，则A．右边界：－4 cm<y<4 cm内有粒子射出

B．右边界：y>4 cm和y<－4 cm内有粒子射出

C．左边界：y>8 cm内有粒子射出

D．左边界：0<y<8 cm内有粒子射出

14（边界范围问题）如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离

处，有一个点状的

放射源S，它向各个方向发射

粒子，

粒子的速度都是

，已知

粒子的电荷与质量之比

，现只考虑在图纸平面中运动的

粒子，求ab上被

粒子打中的区域的长度。

15（磁场范围）如图所示，足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边的中心O点处，垂直磁场方向射入一速度为v₀的带正电粒子，v₀与ad边的夹角为30°.已知粒子质量为m，带电量为q，ad边长为L，不计粒子的重力.(1)求要使粒子能从ab边射出磁场，v₀的大小范围.

(2)粒子在磁场中运动的最长时间是多少?在这种情况下，粒子将从什么范围射出磁场?

16（边界范围问题）在边长为2a的△ABC内存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场，有一带正电荷量q，质量为m的粒子从距A点

a的D点垂直AB方向进入磁场，如图所示，若粒子能从AC间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出。

17（边界范围问题）如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。已知∠AOC=60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于T/6（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为？             

18（空间思维）如图所示，磁感应强度大小为B=0.15T，方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径R=0.10m的圆形区域内，圆的左端点跟y轴相切于直角坐标系原点O，右端跟荧光屏MN相切于x轴上的A点。置于坐标原点O的粒子源可沿x轴正方向射出速度v₀=3.0×10⁶m/s的带电粒子流，比荷为q/m=1.0×10⁸C/kg。不计粒子重力。求：（1）粒子在磁场中运动的半径（2）粒子射到荧光屏MN上的点距A点的距离

（3）现以O点并垂直于纸面的直线为轴，将圆形磁场逆时 针缓慢旋转90°，  在用作图法画出此过程中粒子打在荧光屏上的最低点和最高点的位置。并求出来

19.（特殊磁场圆）质量为m、电量为e的电子从坐标原点O不断地以大小都为V0的速率沿各不同方向射入xoy平面的第一象限，现要求加上一个垂直于xoy平面的匀强磁场，大小为B，使所有这些电子穿出磁场后都平行于X轴向+X方向运动，求符合条件的磁场最小面积。

20（特殊磁场圆问题）如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场。在直线y＝a的上方和直线x＝2a的左侧区域内，有一沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E．一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当速度方向沿x轴正方向时，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力。（1）求磁感应强度B的大小；（2）粒子在第一象限内运动到最高点时的位置坐标；（3）若粒子以速度v从O点垂

直于磁场方向射入第一象限，当速度方向沿x轴正方向的夹角

=30°时，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间t。

21（空间思维）如图1所示，图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外。O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向。已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L，不计重力及粒子间的相互作用。（1）求所考察的粒子在磁场中的

 轨道半径；（2）求这两个粒子从O点射入磁场

  的时间间隔。

22．（两个磁场问题）如图所示，在x ＜0与x ＞ 0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B1 ＞ B2。一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与

B2的比值应满足什么条件？

23. （两个磁场问题）如图在I（

）和区域II(

)内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向都垂直于Oxy平面指向外，其它区域内无磁场分布。质量为m带正电荷量q的粒子从y轴上的P点射人区域I，其速度大小为v₀，方向沿X轴正向。已知粒子到达区域II的右边界时恰好同时经过X轴，且速度方向与X轴方向垂直。不计粒子的重力，求：(1)匀强磁场的磁感应强度大小(2)粒子从射人区域I到离开区域II经历的总时间？

《高三磁场基本功训练23题》答案

1．（1）离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动。设圆半径为r，则据牛顿第二定律可得：

 ，解得

 如图所示，离子回到屏S上的位置A与O点的距离为：AO=2r 所以

（2）当离子到位置P时，圆心角：

因为

，所以

 

2．解：（1）带电粒子在该圆形区域内的运动轨迹的示意图如图所示。

（2）由

得

由示意图分析知：

解得， 

3，解析:

如图所示，电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R．以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电量，则eU＝

mv²    Bev＝

,θ角既是速度方向的偏转角，也是圆弧ab对应的圆心角，所以有tg

＝

，由以上各式解得B＝

．

4，（1）（共2分）∵qvB=mv²/R         ∴R =mv/qB

（2）（共6分）∵T = 2πm/qB    粒子轨迹如∴t =

T =

    （2分）

5，解：

…………………………………………………………………………1分

（1）设粒子飞出和进入磁场的速度方向夹角为

，则

x是粒子在磁场中轨迹的两端点的直线距离．

x最大值为2R，对应的就是

最大值．且2R=r

所以

…………………3分（2）当粒子的速度减小为

时，在磁场中作匀速圆周运动的半径为

            

………………………………………………………1分

故粒子转过四分之一圆周，对应圆心角为

时与边界相撞弹回，由对称性知粒子经过四个这样的过程后第一次回到Ｏ点，亦即经历时间为一个周期．……………1分

粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期

．

所以从O点沿x轴正方向射出的粒子第一次回到O点经历的时间是

……………………………

6，B

7, 解：（1）由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由 A点射入，由 C点飞出，其速度方向改变了 90°，则粒子轨迹半径 r=R   又

则粒子的比荷

（2）粒子从 D 点飞出磁场速度方向改变了 60°角，故 AD 弧所对圆心角 60°，粒子做圆周运动的半径

又

   所以

粒子在磁场中飞行时间

            

8, 设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电，

故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从A₄点射出，用B₁、B₂、R₁、R₂、T₁、T₂分别表示在磁场Ⅰ区Ⅱ磁感应强度、轨道半径和周期

　　

　　　　　　　 ①

　　　　　　  ②

　　　　   ③

　　　　　④

设圆形区域的半径为r，如答图5所示，已知带电粒子过圆心且垂直A₃A₄进入Ⅱ区磁场，连接A₁A₂，△A₁OA₂为等边三角形，A₂为带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心，其半径

   ⑤圆心角

，带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间为　

　　⑥带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心在OA₄的中点，即 R=

r                          ⑦ 在Ⅱ区磁场中运动时间为

　⑧带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间

⑨由以上各式可得

⑩

　11

9,第（1）问本题考查带电粒子在磁场中的运动。第（2）问涉及到复合场（速度选择器模型）第（3）问是带电粒子在有界磁场（矩形区域）中的运动。

（1）设粒子在磁场中的运动半径为r。如图甲，依题意M、P连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由几何关系得

   

        ①由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得

   

  ②联立①②并代入数据得

=4.9×

C/kg（或5.0×

C/kg）   ③2）设所加电场的场强大小为E。如图乙，当粒子子经过Q点时，速度沿y轴正方向，依题意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有

  ④代入数据得

    ⑤

所加电场的长枪方向沿x轴正方向。由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角为45°，设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T，所求时间为t，则有

   

    ⑥  

       ⑦

联立①⑥⑦并代入数据得

  ⑧

（3）如图丙，所求的最小矩形是

，该区域面积

 

    联立①⑨并代入数据得 

矩形如图丙中

（虚线）离子加速时，有：eU=

mv²                             在磁场中，有：evB=

         由几何关系，有：tan

 

由以上各式解得：B=

10,（1）在匀强磁场中，质点A做匀速圆周运动，半径

（1分）

又有

，质点解得

，磁感应强度方向垂直纸面向外

在匀强磁场中的周期为

运动时间为

（1分）

质点A出匀速磁场后做匀速直线运动，运动时间为

（1分）

则总时间

（1分）

（2）应以带电的点电荷C为圆心做匀速圆周运动，设半径为r,有

（1分）

（1分）

故点电荷C与坐标原点O的距离为

又有

（1分联立解得

（1分） 

11题：（1）质子在磁场中做匀速圆周运动，则由:qv₀B=mv₀²／R（４分）

   

（2分）

   （2）质子由A运动到B可重复若干周期，其中一个周期内的运动情景如右图所示，由几何关系知，A、B间的最短距离为：

AB＝2d₁cotθ＋2d₂cotθ

=2dcotθ=2×0.1×lm=0.2m　　　　（４分）

    （3）质子在磁场中的运动时间为一个圆周运动的周期：

（４分）

    质子在l₁和l₂间的运动时间为：

（４分）

    质子由A运动到B的最短时间为：

（２

分）

12, (1)带电粒子在磁场中运动时，洛仑兹力提供向心力

其转动半径为

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，连接粒子在磁场区入射点和出射点得弦长为:

要使圆形匀强磁场区域面积最小，其半径刚好为l的一半，即:

 ，其面积为

 

 (2)带电粒子在磁场中轨迹圆弧对应的圆心角为120⁰，带电粒子在磁场中运动的时间为转动周期的

，

 

(3)带电粒子从O处进入磁场，转过120⁰后离开磁场，再做直线运动从b点射出时ob距离:

13,

14, 解：

粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，

 用R表示轨道半径，有

   ①

由此得

代入数值得R=10cm

可见，2R>l>R.

因朝不同方向发射的

粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P₁就是

粒子能打中的左侧最远点.为定出P₁点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P₁.

     ②

再考虑N的右侧。任何

粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P₂点，此即右侧能打到的最远点.

由图中几何关系得

   ③

所求长度为 

    ④

代入数值得 P₁P₂=20cm    ⑤

15, 解析：（1）若粒子速度为v₀，则qv₀B =

，  所以有R =

，

设圆心在O₁处对应圆弧与ab边相切，相应速度为v₀₁，则R₁＋R₁sinθ =

，

将R₁ =

代入上式可得，v₀₁ =

类似地，设圆心在O₂处对应圆弧与cd边相切，相应速度为v₀₂，则R₂－R₂sinθ =

，

将R₂ =

代入上式可得，v₀₂ =

所以粒子能从ab边上射出磁场的v₀应满足

＜v₀≤

（2）由t =

及T =

可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越长，在磁场中运动的时间也越长。由图可知，在磁场中运动的半径r≤R₁时，运动时间最长，弧所对圆心角为（2π－2θ），所以最长时间为t =

=

16,

18，解：（1）粒子在磁场中作匀速圆周运动，设半径为r，由牛顿第二定律可得：

，所以

，  代入数据可得：r=0．20m                

（2）作出粒子运动轨迹如图1所示。粒子在B点射出，磁场中转过的偏向角为θ，由图可得：

由数学知识可得：

  

所以

 

（3）当圆形磁场区域转过90º时，粒子打在A点，A点即为最低点，如图2所示。（2分）

作图说明：以O为圆心、OA为半径作出圆孤AE交y轴于E点，以E为圆心、EO为半径作粒子运动轨迹交AE孤于B点，连接CB并延长交屏于P点，P点即为粒子到达的最高点。

20，（1）设粒子在磁场中做圆运动的轨迹半径为R    

 ---- 2分

粒子自A点射出，由几何知识  

 ----- 2分  解得  

   ------ 1分

（2）经分析粒子在磁场运动的路程  

  S₁= 

  ------2分

粒子在电场中的路程S₂    

    Eq=ma   

  -----2分

                 S=S₁+S₂= 

-----2分

（3）粒子运动轨迹如图所示 

粒子在磁场中做圆运动的周期  

   

粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO₁PO₂构成菱形，故粒子从P点的出射方向与y轴平行，粒子由O到P所对应的圆心角为  

=60⁰

由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离  S=acos

 

粒子在电场中做匀变速运动，在电场中运动的时间    

----- 2分

粒子由P点第2次进入磁场，由Q点射出，ＰO₁ＱO₃构成菱形，由几何知识可知Q点在x轴上，粒子由P到Q的偏向角为

=120⁰，则  

 

粒子先后在磁场中运动的总时间  

   ---- 2分    

粒子在场区之间做匀速运动的时间  

    ------2分 

 解得粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间

  

 --------2分

21解析:

（1）设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律得

，则

（2）如图2所示，以OP为弦可以画两个半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨迹。圆心分别为O₁、O₂，过O点的直径分别为OO₁Q₁、OO₂Q₂，在O点处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用θ表示它们之间的夹角。由几何关系可知，

，从O点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆周加弧长Q₁P=Rθ，粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ₂=Rθ

粒子1的运动时间为 

，其中T为圆周运动的周期。

粒子2运动的时间为 

两粒子射入的时间间隔为  

因为  

   所以 

有上述算式可解得  

22，解析：粒子在整个运动过程中的速度大小恒为v，交替地在xy平面内B₁与B₂磁场区域中做匀速圆周运动，轨道都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为n和q，圆周运动的半径分别为r₁和r₂，有

r₁＝

                        ①

n＝

                        ②

现分析粒子运动的轨迹，如图所示，在xy平面内，粒子先沿半径为r₁的半圆、运动至y轴上离O点距离为2r₁的A点，接着沿半径为r₂的半圆D运动至y轴上的O₁点，OO₁的距离d＝2(r₂－r₁)                             ③

此后，粒子每经历一次“回旋”(即从y轴出发沿半径为r₁的半圆距半径为r₂的半圆回到原点下方的y轴)。粒子的y坐标就是减小d，设粒子经过n次回旋后与y轴交于O点，若OO、即nd满足

nd＝2r₁                                   ④

则粒子再经过半圆C_n+1就能够经过原点，式中r＝1，2，3，…为回旋次数。

由③④式解得

                               ⑤

联立①②⑤式可得B₁、B₂应满足的条件：

  n＝1，2，3，…            

23，