我记得30年前，我上小学的时候，学校组织了许多课后兴趣小组，每个月交个十块二十块的，就能参加了。我参加了数学、航模和计算机三个兴趣小组（后来航模小组被班主任强令退了），学了很多奇奇怪怪的知识，开拓了我的视野。
尤其是数学小组，我从三年级开始，一直上到六年级毕业，在里面学了很多好玩的知识，直到今天我还记得。比如：
三条直线能把一个圆形分成几个部分？
一次走一个台阶或者两个台阶，走上一个10个台阶的楼梯有几种方法？
甲乙两人相向而行，到达对方起点后返回，再次相遇时一共走多远？
把100拆成几个正整数的和，让它们的乘积最大，请问应该怎么拆？
……
这些问题在现在看来都非常小儿科，但是那时候，许多问题都让我百思不得其解。后来恍然大悟，又感觉畅快淋漓，从此爱上了数学。教我数学的王成邦老师、李伟群老师都去了广东、李国老师不知是否还在吉林市，时隔三十年，他们上课时的音容笑貌，我依然记忆犹新。
我记得有一次，王成邦老师讲倍数的特点，他教我们如何快速判断一个数是不是另一个数的倍数。比如2、3、5、7、11、13、17、19、23等数的倍数，都有什么特点。这么多年来，我对于这些规律都是单独记忆、单独证明，仿佛每条规律都是特殊的。在网上搜搜，结果也大体如此。
前两天与我的学生鲁泠溪聊天，提到此事，她告诉我：其实这些规则都是统一的，而且可以自己归纳总结出更多类似规则。30年了，一个小小的倍数问题，居然让我有了更深的理解。我再次体会到了小学三年级时那种豁然开朗的感觉。
今天，我就想来给大家讲讲这个简单但是有趣的问题。由于2、4、5、8、10这样的数字的倍数都比较简单，我在文章中主要讨论3、7、11、13、17、19的倍数特点，从最简单的3开始。
一、3的倍数
规则：如果一个数各个位上的数字和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。
例子：判断123456是不是3的倍数。
解：
1+2+3+4+5+6=21
21是3的倍数,所以123456是3的倍数。
证明：以三位数为例。
表示百位是a、十位是b、个位是c的一个三位数。
由于9是3的倍数，所以99a+9b也是3的倍数，当且仅当(a+b+c)是3的倍数时，才是3的倍数，证毕。
3的倍数的快速判断，小学生都知道，因为课本里有这一课。关于这种方法，我们还可以做以下两点引申：
引申1
根据刚才的证明过程可知：各位数字之和与原来的数关于3同余，或者说各位数字之和除以3余几，原来的数除以3就余几。。
引申2
9的倍数特点与3类似。各位数字之和是9的倍数时，这个数就是9的倍数。各位数字之和除以9余几，这个数除以9就余几。
二、7的倍数
下面我们讨论7的倍数。
规则：如果一个数去掉末位后的数减去末位的2倍，得到的结果是7的倍数，那么原来的数就是7的倍数。
例子：判断147和1234是不是7的倍数。
解：
14-7x2=0
0是7的倍数，因此147是7的倍数。
123-4x2=115，11-5x2=1
1不是7的倍数，所以115不是7的倍数，所以1234不是7的倍数。
证明：
首先找到7的倍数21，21=7x3
一个数如果是7的倍数，减去整数个21后依然是7的倍数。我们要判断一个数是否是7的倍数，可以让这个数不停的减去21，判断余下的数是不是7的倍数。
以三位数为例。
判断是不是7的倍数，等价于判断是不是7的倍数，由于10与7互质，又等价于判断是不是7的倍数。
当且仅当是7的倍数时，才是7的倍数。
就是去掉末位后余下的数，就是去掉末位后减去末位的两倍，证毕。
说明：我们找到了一个数21，这个数是7的倍数。而且，21的十位是2，个位是1，当我们用原来的数字减去21时，末位减掉1，十位就要减掉2，所以就出现了规则：去掉末位后减去末位的两倍。
这句话很有普遍性：假如我们想判断一个数是不是某个质数的倍数（这个质数不能是2和5，因为它要与10互质），都可以用类似的方法。比如以下几个例子。
三、11的倍数
首先找到一个11的倍数，它的个位必须是1.显而易见，11本身就满足这个规律，它的十位是1，所以：
规则1：如果一个数去掉末位后余下的数减去末位，结果是11的倍数，那么原来的数就是11的倍数。
例子：判断1331是不是11的倍数。
解：
133-1=132，13-2=11。
11是11的倍数，所以132是11的倍数，所以1331是11的倍数。
不过说来，更方便的规则如下：
规则2：如果一个数奇数位的数字和减去偶数位的数字和，差是11的倍数，那么原来的数就是11的倍数。
例子：判断1331是不是11的倍数。
解：
1331第一、第二、第三、第四位数字分别是1、3、3、1
奇数位是第一、第三位，数字和=1+3=4；
偶数位是第二、第四位，数字和=3+1=4；
4-4=0，0是11的倍数，所以1331是11的倍数。
大家要知道，规则2其实与规则1是相同的，只不过是换了一种展现方式。以四位数为例：
按照规则1：判断四位数是不是11的倍数，可以去掉末位得到三位数，再减去末位d，在不考虑退位的情况下（这里略过对退位情况的证明，有退位时同理不难证明），三位数是；
重复规则1，去掉末位减末位，得到两位数；
重复规则1，去掉末位减末位，得到一位数；
如果这个数是11的倍数，原来的四位数就是11的倍数。而这个数刚好满足规则2——奇数位的和减去偶数位的和，这说明两个规则是等价的。
四、13的倍数
首先找到一个13的倍数，它的个位必须是1，发现：91=13x7。由于91的十位是9，所以：
规则1：如果一个数去掉末位后余下的部分减去末位的9倍，结果是13的倍数，那么原来的数就是13的倍数。
例子：判断7293是不是13的倍数。
解：
729-3x9=702；
70-2x9=52；
52是13的倍数，所以702、7293也是13的倍数。
其实，这种方法还可以简化：因为13=9+4，如果减去末位的9倍是13的倍数，那么加上末位的4倍也是13的倍数。所以：
规则2：如果一个数去掉末位后余下的部分加上末位的4倍，结果是13的倍数，那么原来的数就是13的倍数。
例子：判断7293是不是13的倍数。
解：
729+3x4=741；
74+1x4=78；
7+8x4=39
39是13的倍数，所以78、741、7293也是13的倍数。
五、17的倍数
找到一个17的倍数，它的个位必须是1，发现：51=17x3，由于51的十位是5，所以：
规则：如果一个数去掉末位后余下的数减去末位的5倍，结果是17的倍数，那么原来的数就是17的倍数。
例子：判断6137是不是17的倍数。
解：
613-7x5=578；
57-8x5=17.
17是17的倍数，所以578、6137也是17的倍数。
六、19的倍数
找到一个数，它是19的倍数，并且个位是1.我们发现：171=19x9，它的十位和百位是17，所以：
规则1：如果一个数去掉末位后减去末位的17倍，结果是19的倍数，那么这个数就是19的倍数。
例子：判断4047是不是19的倍数。
解：
404-7x17=285；
28-5x17=-57；
-57是19的倍数，所以285和4047是19的倍数。
显然，把一个数乘以17，这种方法有点复杂。由于19=17+2，所以如果减去末位的17倍结果是19的倍数，那么加上末位的2倍也是一样，所以有：
规则2：如果一个数去掉末位后加上末位的2倍，结果是19的倍数，那么这个数就是19的倍数。
例子：判断4047是不是19的倍数。
解：
404+7x2=418；
41+8x2=57；
57是19的倍数，所以418和4047是19的倍数。
大家发现规律了吧？判断一个数是不是7、11、13、17、19这样的质数的倍数，都可以按照这样的规则：首先找到这个质数的倍数，并且这个倍数个位是1。十位（包括百位）是几，就用原来的数去掉末位后减掉几倍的末位，判断余下的数是不是那个质数的倍数就可以了。按照这样的方法，你能找到一种判断23的倍数的方法吗？
七、还能再给力一点吗？
判断倍数的方法不止一种。例如：判断7、11、13的倍数，还有一种公共方法：
规则：把一个数的末三位和其余部分分成两段，用这两段数字做差，如果结果是7或者11或者13的倍数，那么原来的数就是7或者11或者13的倍数。
例子：判断54327是不是7、11、13的倍数。
解：
将54327分成两段，分别是54和327, 将两段做差：327-54=273；
判断273是不是7的倍数，用去掉末位减去末位2倍的方法：27-3x2=21，21是7的倍数，所以273、54327是7的倍数。
判断273是不是11的倍数，用奇、偶位数和做差的方法：2+3-7=-2，-2不是11的倍数，所以273、54327不是11的倍数。
判断273是不是13的倍数，用去掉末位减去末位9倍的方法：27-3x9=0，0是13的倍数，所以273、54327是13的倍数。
综上，54327是7和13的倍数，但不是11的倍数。
反复使用这种方法，可以让一个很大的数变成3位以内，再用之前的方法判断是否是7、11、13的倍数就可以了。
为什么这种方法是正确的？我提示一下：1001=7x11x13，试试看，你自己能不能给出在证明？利用同样的规律，我们知道2001=3x23x29，你能自己再找到一个判断23、29倍数的方法吗？
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