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什么是质数？
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质数的定义很简单。
定义：质数是一个只能被1和它本身整除的整数。
换句话说，质数是一个自然数p >1，它不能表示为两个较小自然数的乘积。因此，一个质数有两个正的因数。前25个质数：
2、3、5、7、11、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89……
我们还有一个美丽的质数，贝尔芬格质数
1000000000000066600000000000001 = 10^30+ 666 + 10^14+ 1
这是1，后面是13个0，然后是666，再后面是13个0，最后是1。对于大多数数学家来说，这个质数不可能是一个巧合。这是一种艺术！
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图1：在极坐标下5000和50000质数的比较。应该注意1不是质数。但是为什么1不是质数呢？实际上，直到20世纪，1一直被认为是质数。于是数学家们选择不接受1是质数，这样就能更容易地写出很多定理。根据质数的新定义，它们不再用1作为质数。
此外，没有因数并不是质数如此独特的唯一原因。例如，整个数轴只用素数就可以产生。换句话说，每一个数都可以通过质数相乘得到。因此，我们可以很容易地说质数是数列的原子，所有其他正整数都是由质数构成的。伟大的数学家已经证明：任何整数都可以表示为质数的乘积。这个理论来自于数论：算术基本定理。理解算术的基本原理是解开素数之谜的第一把钥匙。
算术基本定理(欧几里德)：每一个整数P > 1都可以被唯一地写成有限素数的乘积。
要么是素数本身，要么可以表示为素数的乘积，而且，这种表示是唯一的，除了因子的顺序。
例如：
666 = 2 * 3 * 3 * 37 = 2 * 3^2*37
1234567890 = 2 * 3 * 3 * 5 * 3607 * 3803 = 2*3^2*5 * 3607 * 3803
基本上，我们把任意一个数分解成两个数，然后尽可能地把它们分解成两个质数，以此类推。当不能再因式分解时，所有剩下的数都是质数。最终只剩下质数。乘积中的项叫做质因数。不要忘记，因素可能会出现不止一次。
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欧几里得的算术基本定理是不接受1为质数的主要原因。例如，我们假设1是质数。如果我们对55做质因数分解，我们得到:
55 = 11·5·1·1·1·1·1·1·1……·1。
我们需要把上面的定理改为:“每个正整数都可以被唯一地写成质数的乘积，除了无限乘以1。”
推论：2的平方根是无理数。
证明：我们假设根号2 = a/b。
然后b xsqrt（2） = a。因此(b^2)*2 = a
现在假设，上面方程式左侧的因子2具有奇数指数，而在右侧具有偶数指数，这与算术基本定理矛盾。
有无数个素数。
数轴上有多少质数？无限或有限？我们知道，质数只能被自身和1整除，它们不能被分成更小的整数。所以，我们能把所有可能的数字的一半从数表中去掉吗？是的，可以！根据定义，除了2以外的偶数不能是质数。同样，我们可以去掉3、4、5、6、7、8的倍数，等等。在这一点上，年轻的数学家可能会想“那么就没有质数了。然而，这不是真的。因为欧几里得在2300年前就证明了质数是无限的而最大的质数是不存在的。
定理(欧几里得)：有无穷多个素数
证明：为了证明这个定理，我们使用了反证法。我们假设从p1到pn的质数是有限的
p1 < p2 < p3 <…< pn。现在考虑这个数字：
P=p1 x p2 x p3 x…x pn。
P不可能是质数因为pn是最大的质数。然而，P也不能被任何质数pm整除，其中1≤m≤n，因此P必须是质数，这是矛盾的。我们刚刚证明了欧几里得定理。
这个定理可能看起来很复杂，但是这个证明的基本思想是，如果只有有限多的质数，我们可以得到所有这些质数的一个列表。比如，我们只知道2 3 5 7是质数。但同样的思想适用于任何有限数量的质数。现在，如果你把它们相乘并加1，你会得到一个新的数，211，除了1和它本身，它不能被任何数整除。我们得到了一个新的质数。你可以无限次地做这个运算每次你都会得到一个新的质数。这就是为什么质数是无限的。到目前为止，数学家们认为没有一个真正的公式可以用来找出所有的质数。
已知的最大质数是多少？
2018年1月，互联网梅森素数大搜索，发现最大的素数是2-1，以17世纪法国和尚马林·梅森的名字命名，该数字为23,249,425位，比以前的记录保持者多一百万位。
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图2：自电子计算机以来，按年份划分的已知最大素数的位数图。孪生素数
当你开始按顺序写出素数时，一开始你会发现有一种独特的行为。有些质数对之间只有一个数。我们称它们为“孪生素数”。如果p是质数，那么p+2也是质数我们称p和p+2为孪生素数。
第一个孪生素数的顺序是：
(3、5)(11、13)、(17、19)、(29、31)、(41、43)、(59,61)、(71、73)、(101、103)、(107、109)、(137、139)、(149、151)、(179、181)、(191、193)、(197、199)、(227、229)、(239、241)、(269、271)、(281、283)、(311、313)、(347、349)、(419、421)、(431、433)、(461、463)、(521、523)、(569、571)、(599、601)、(617,619)。
数学家们仍然想知道孪生素数是继续出现还是会有个终止。如果我们从十亿开始寻找孪生质数，我们已经看到一对了，有一些孪生数。
(1000000007, 1000000009)，(1000000409, 1000000411)，(1000000931, 1000000933)，(1000001447, 1000001449)，(1000001789, 1000001791)，(1000001801, 1000001803)。
我们总能找到孪生素数，有了这些证据，我们就能得出这样的结论：在无穷多的素数中有无穷多对孪生素数。
2016年，两位数学家发现素数对其他以相同数字结尾的素数有一种特殊的厌恶。他们检查了最初的4000亿个质数，发现质数似乎可以避免后面跟着另一个具有相同尾数的质数。
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图3：前四百万个整数标记为质数或非质数(质数为白色)质数和加密之间的关系
为什么有些聪明的人会花几年的时间去找一个不能被任何数整除的数？原因其实很简单：拯救我们的生命。
有那么多优秀的数学家为了找到一个简单的数字而花费他们的一生。这一切都与“加密”有关。质数意味着加密。
定义：加密是将信息或数据转换成代码的过程，特别是为了防止未经授权的访问。
这一事实使得质数对我们的生活和交流至关重要。大多数现代计算机密码学都是利用大数的质因数来工作的。在第二次世界大战期间，质数在秘密间谍代码中也扮演了重要的角色。
加密只是意味着通信在某种程度上被打乱了。它建立在密码学的基础上，只要人类想要保持信息机密，密码学就一直在使用。如果你看过电影《模仿游戏》，你就会知道，在二战期间，密码学的最大使用者是政府，尤其是用于军事目的的政府。同样在20世纪60年代美国和俄罗斯之间的冷战期间，美国和俄罗斯都试图阻止对方了解有关导弹和火箭发展的防御秘密以及其他军事秘密。
现在,我们生活在数字时代,我们把更多的信息放到网上，我们必须阻止人们偷它们。这意味着我们必须尊重质数并不断地寻找新的质数。
好的，但是背后的数学逻辑如何导致现代应用中的重要应用的？原因很简单，你可以在考试中对一个4位数做一个质因数分解，但是如果有人给你一个600位数或1000位数呢？你的算法肯定不会起作用。因为即使是最强大、最先进的超级计算机也无法长时间进行质因数分解。
例如，没有人能够找到下面617位数字的两个质因数：
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我再举一个例子。每次你把你的信用卡号码发送到亚马逊，你都依赖于质数来保持你的卡号不被窃取。为了给你的信用卡编码，你的电脑会从网站上收到一个像X这样的公共号码，它会用你的信用卡号码进行计算。这就打乱了卡号，因此编码的信息可以通过互联网发送。但是为了解码信息，网站使用质数除以X来取消计算。虽然X是公共的，但除X的素数是开启秘密的密匙。
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简单地说，质数保护你的钱和隐私不被窃取。正如你所看到的，质数对现代计算机安全是绝对必要的。
但是，这不仅对现代计算机安全至关重要。质数在自然界中也有惊人的存在，质数的一个惊人之处在于它的存在在自然界中是如何被感知的。我向你保证，在你读完下一部分后，你会说“数学是让我们的宇宙有意义的代码。”。
伟大的数学家：蝉
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每个人都喜欢夏天的蝉声。它们每年都以足够大的数量出现，以它们的音量和声音能量来吸引人们。然而，在纳什维尔的人们并没有机会每年都听到蝉鸣声。上一次有机会听到蝉鸣声是在2011年。在他们欣赏了蝉鸣之后，森林会安静13到17年。13、17是质数。
根据科学研究，蝉是数学上的昆虫。这个词对于动物来说是最有趣的。蝉会周期性地出现，但只有在最好的年份才会出现。它们用素数走出洞穴产卵。蝉每隔7年、13年或17年才离开它们的洞穴。你可以认为蝉是随机选择这些数字的。那么你就错了，因为这种13年周期的选择似乎不是那么武断。没有生命周期为8年、10年、12年、15年或20年的蝉。如果你现在开始用数学家的眼光来观察这些蝉，你就会发现这种模式开始出现。
13和17都是不可分割的，这个美丽的礼物给了蝉一个优势，因为质数有助于避免其他有周期性行为的动物。假设掠食者每四年出现在森林中。然后，具有六年生命周期的蝉将与捕食者每12年重合一次。是的，因为4和6的最小公倍数是12。但是，如果蝉每13年出现一次，并且捕食者的生命周期为4年，那么它只会每52年面对一次捕食者高峰。（4 x 13）。这给蝉带来了巨大的优势。
换句话说，这些昆虫使用质数来确保它们的生存。当我们上网时，保护我们生命安全的密码和保护蝉的数字是一样的。
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