《趣味代数学》平分羊群

【题目】两个一起贩卖牲口的人把他们共有的一群牛卖了个好价钱，每头牛卖出的钱数都相当于这群牛的总数。然后他们用这笔钱买回了一群大羊和一只小羊羔，大羊的价格是每只10卢布，买完大羊剩下的零头就是那只小羊羔的价钱。现在两个人不再一起做生意了，所以这群羊必须平均分开，分到最后，还有一只大羊和一只小羊羔。两个人商定，分到大羊的人给分到小羊羔的人一些钱来补差额。

那么这个差额是多少钱呢（假定是整数）？

【解题】这道题无法直接变成代数语言，原因是无法列出方程，因此只能用自由的数学思考来找出它的解，但我们必须承认，即便如此，代数还是起到了关键的作用。

根据题意可知，1头牛的价格与牛的总数相等，如果一共有n头牛，那么每头牛的价格就是n卢布，两个人共有的那群牛的总价应该是完全平方数——n2。

题中提到，平分羊群时，分到最后，还剩下一只大羊与一只小羊羔，可见大羊的数量是奇数，那么n2的十位上的数也一定是奇数，但个位上是几呢？是6。对于一个完全平方数来说，如果它的十位上是奇数，那么个位上一定是6。我们来证明一下：

用a表示十位上的数字，用b表示个位上的数字，计算这个数的平方可得：

这个得数并不能直接看出十位上是几，因为十位上的数并非只是

，另有一部分包含在2b里，但可以肯定的是

能被2&nbsp；整除，所以它是个偶数，那么现在就只需要看b2的值了。

b2是个位上的数字的平方，个位上的数字只可能是0～9，因此b2的值一定是0、1、4、9、16、25、36、49、64、81这十个数中的一个。而在这十个数中，只有16和36十位上的数字是奇数，而这两个数个位上的数都是6。

因此对于完全平方数

来说，只有当它的个位数为6时，它的十位数才能是奇数。

得到答案已经没有什么难度了：小羊羔的价格是6卢布，10-6=4卢布，分到大羊的人相当于比分到小羊羔的人多得到4卢布，他只有补偿给对方2卢布，才能使双方的所得一样多，因此这个差额是2卢布。（俄.别莱利曼）