《算术与几何的妙趣》“之”字形路线与迦尔顿路线

算术表上的跳格子路线并非一定是直线。例如，克鲁瓦特想到向后折回的路线：在第 n 步向下移动一格并向后移动 n 格。克鲁瓦特证明：当且仅当起始点为 2^k+1 形式时，这样的路线不会遇到任何整数。

随着下降并轮流左移一步右移一步，这些数字呈现出最简单的“之”字形跳跃。克鲁瓦特证明，在这种跳格子方式下，当且仅当 n 为 2^k+1 形式时，从 n 出发不会遇到任何整数。

不是所有的路线问题都得以解决，克鲁瓦特提出一个关于“迦尔顿路线”的双重猜想：从算术表第 n 列的 2 开始（图中将行序倒置画出）沿着东南方向下降，直到遇到奇数的非空格子，然后方向变成西南方向（犹如迦尔顿板 1 上的钉子改变落下珠子的运动方向，参见“弯曲路线和迦尔顿路线”图 B）。如此继续在每次遇到奇数非空格子时改变方向。路线终结于算术表第一行的一个必定为偶数的格子，记作 G(n)。上图指出 G(9)=10。

1弗朗西斯 · 迦尔顿为证明中心极限定理所发明的装置。——译者注

6　弯曲路线和迦尔顿路线：弯曲路线 (A) 和模拟迦尔顿板 (C) 下降的路线 (B) 使人们能够得出算术表的新特性，并提出猜想。

克鲁瓦特注意到，数列 G(n)/2 与欧拉函数 j（对于 n，j (n) 的值为小于 n 且与 n 互质的整数的数目）相似，且两者对于质数相互重合。上图给出了两个数列取值的叠加比较。

如同欧拉函数的情况一样，我们可以猜想无法由 G 得出的偶数有无穷多个（58 就是其中之一）。

另外，对于欧拉方程我们知道 

。

于是很自然地会猜想极限 

 存在……且会出现数字 π。（让·保罗·德拉耶）