数学高考真题 知识总结 方法总结 题型突破！（05 函数的奇偶性(对称性)与周期性问题）

专题05　函数的奇偶性(对称性)与周期性问题

【高考真题】

1．(2022·全国乙文)若是奇函数，则_____，______．

1．答案　　　解析　因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．

由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．

故答案为；．

2．(2022·新高考Ⅱ)已知函数的定义域为R，且，则(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．0　　　　　　　　D．1

2．答案　A　解析　因为，令可得，，所以

，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数一个周期为6．

因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选．A．

3．(2022·全国乙理)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7．若y＝g(x)

的图像关于直线x＝2对称，g(2)＝4．则(　　)

A．－21　　　　　　　　B．－22　　　　　　　　C．－23　　　　　　　　D．－24

3．答案　D　解析　因为的图像关于直线对称，所以，因为

，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，．

因为，所以，即，所以．

因为，所以，又因为，联立得，，

所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以，因为，所以．所以．故选．D．

4．(2022·新高考Ⅰ)已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，

均为偶函数，则(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

4．答案　BC　解析　因为，均为偶函数，所以即

，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误．故选．BC．

【常用结论】

1．函数奇偶性常用结论

结论1：如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，那么f(0)＝0．

结论2：如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．

结论3：若函数y＝f(x＋b)是定义在R上的奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．

结论4：若函数y＝f(x＋a)是定义在R上的偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．

结论5：已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)_max＋f(x)_min＝0．

推论1：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c．

推论2：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(x)_max＋g(x)_min＝2c．

结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇奇＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇．

结论7：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．

结论8：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．

结论9：函数f(x)＝a^x＋a^－x(a>0且a≠1)是偶函数；函数f(x)＝a^x－a^－x(a>0且a≠1)是奇函数；函数f(x)＝ (a>0且a≠1)是奇函数；

结论10：函数f(x)＝log_a(a>0且a≠1)是奇函数；函数f(x)＝log_a(±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．

结论11：函数y＝f(x)是可导的奇函数，则导函数y＝f′(x)是偶函数；函数y＝f(x)是可导的偶函数，则导函数y＝f′(x)是奇函数；

结论12：导函数y＝f′(x)是连续的奇函数，则所有的原函数y＝f(x)都是偶函数；导函数y＝f′(x)是连续的偶函数，则原函数y＝f(x)中只有一个是奇函数；

2．函数的对称性(奇偶性的推广)

(1)函数的轴对称

定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．

推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．

(2)函数的点对称

定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．

推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．

推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．

(3)两个等价关系

若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：

f(a＋x)＝f(a－x)f(2a－x)＝f(x)f(2a＋x)＝f(－x)

若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：

f(a＋x)＝－f(a－x)f(2a－x)＝－f(x)f(2a＋x)＝－f(－x)

(4)原函数与导函数的对称性的关系

定理1：可导函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是导函数y＝f′(x)的图象关于点(a，0)中心对称．

定理2：可导函数y＝f(x)的图象关于点(a，f(a))中心对称的充要条件是导函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝a对称．

3．函数周期性常用的结论

结论1：若f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)的一个周期为2a；

结论2：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的一个周期为2a；

结论3：若f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；

结论4：若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为6a；

结论5：若f(x＋a)＝，则f(x)的一个周期为2a；

结论6：若f(x＋a)＝－，则f(x)的一个周期为2a；

结论7：若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．

结论8：若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．

结论9：若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|．

结论10：若函数f(x)可导，并且是周期为T的周期函数，则f′(x)也是的周期为T的周期函数；若函数f(x)可导，其导函数f′(x)是周期为T的周期函数，且f(0)＝f(T)，则f(x)也是的周期为T的周期函数

结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．

总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．

【同类问题】

题型一　函数的奇偶性与周期性

1．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4^x，则f＋f(1)＝(　　)

A．－2　　　　　　　　B．0　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．1

1．答案　A　解析　∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－

f(1)，∴f(1)＝0，f＝f＝－f＝－4＝－2，∴f＋f(1)＝－2．

2．(2021·全国甲)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax²

＋b．若f(0)＋f(3)＝6，则f 等于(　　)

A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

2．答案　D　解析　由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，

所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0．①，由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6．②，根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x²＋2．根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f ＝f ＝－f ＝2ײ－2＝．

3．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，f(x＋2)是偶函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x，则f(－2 022)＋f(2

023)＝(　　)

A．－3　　　　　　　　B．－2　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．0

3．答案　C　解析　∵函数f(x＋2)是偶函数，函数f(x)关于x＝2对称，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，∴f(－x＋4)

＝f(x)，∴f(x＋4)＝f[－(－x)＋4]＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函数的周期为8，∴f(－2 022)＋f(2 023)＝－f(2 022)＋f(2 023)＝－f(6)＋f(7)＝f(2)－f(1)＝2－1＝1．

4．(多选)(2022·威海模拟)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则(　　)

A．f(x)是偶函数　　　B．f(x)是奇函数　　　C．f(x＋3)是偶函数　　　D．f(x)＝f(x＋4)

4．答案　CD　解析　∵f(x＋1)是偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2)．∵f(x－1)是偶函数，

∴f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2)．∴f(x＋2)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．∵f(－x－1)＝f(x－1)，∴f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝f(x＋3)，∴f(x＋3)是偶函数．

5．(多选)已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则(　　)

A．f(3)＝0　　　B．f(3)＝f(5)　　　C．f(x＋3)＝f(x－1)　　　D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1

5．答案　ABC　解析　因为函数f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，又因为f(x)是R上的奇函数，

所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，又因为f(1)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(5)＝f(1)＝0，故A，B正确；f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，所以C正确；f(2)＝f(2－4)＝f(－2)，同时根据奇函数的性质得f(2)＝－f(－2)，所以f(2)，f(－2)既相等又互为相反数，故f(2)＝0，所以f(2)＋f(1)＝0≠1，即f(x＋2)＋f(x＋1)＝1对于x＝0不成立，故D不正确．

6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2，4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋

f(4)＋…＋f(2 022)＝________．

6．答案　0　解析　∵f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，∴f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，即f(1)＝0．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0．∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 022)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝0．

7．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上单调递减，下面关于f(x)的判断正

确的是(　　)

A．f(0)是函数的最小值　　　　　　　　　　　　　B．f(x)的图象关于点(1，0)对称

C．f(x)在[2，4]上单调递增　　　　　　　　　　　D．f(x)的图象关于直线x＝2对称

7．答案　ABD　解析　A项，∵f(x＋2)＝－f(x)＝－f(－x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)是周

期为4的周期函数，又f(x)在[－2，0]上单调递减，在R上是偶函数，∴在[0，2]上单调递增，∴f(0)是函数的最小值，正确；B项，由f(x＋2)＋f(－x)＝0，∴f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，正确；C项，又f(x)在[－2，0]上单调递减，在R上是偶函数，∴在[0，2]上单调递增，f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)在[2，4]上单调递减，错误；D项，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，正确．

8．写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R，值域是R；②奇函数；③周期函数的函数解析式

____________．

8．答案　f(x)＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)(答案不唯一)　解析　满足题意的函数为f(x)＝tan x，x≠＋

kπ(k∈Z)(答案不唯一)．

9．函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，

则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________．

9．答案　4　解析　∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，∴函数y＝f(x)的图象关于原点对称，即函

数f(x)是R上的奇函数，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4．∴f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，f(2 020)＝f(0)＝0，f(2 022)＝f(2)＝f(0)＝0，∴f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4．

题型二　函数的奇偶性与对称性

10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是(　　)

A．y＝(x－1)f(x－1)　　　　B．y＝(x＋1)f(x＋1)　　　　C．y＝xf(x)＋1　　　　D．y＝xf(x)－1

10．答案　B　解析　构造函数g(x)＝xf(x)，该函数的定义域为R，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)

，函数g(x)为奇函数，故函数g(x)的图象的对称中心为原点．函数y＝(x＋1)f(x＋1)的图象可在函数g(x)的图象上向左平移1个单位长度，故函数y＝(x＋1)f(x＋1)图象的对称中心为(－1，0)．

11．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)的周期为2，在[－1，0]上单调递增，那么f(x)在[1，3]

上(　　)

A．单调递增　　　　B．单调递减　　　　C．先增后减  　　　　D．先减后增

11．答案　C　解析　函数f(x)的周期为2，且f(x)在[－1，0]上单调递增且为偶函数，∴函数f(x)在[0，1]

上单调递减，∴函数f(x)在[1，3]上先增后减．

12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在区间[1，2]上单调递减，令a＝ln 2，b＝，

c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是(　　)

A．f(b)<f(c)<f(a)　　　　B．f(a)<f(c)<f(b)　　　　C．f(c)<f(b)<f(a)　　　　D．f(c)<f(a)<f(b)

12．答案　C　解析　依题意，定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋2)＝f(－x)，即函数

f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(0)＝0．又f(x)在区间[1，2]上单调递减，则f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(1)>0．由0<a＝ln 2<1，得f(a)>f(0)＝0，b＝＝＝2，则f(b)＝f(2)＝f(0)＝0，c＝log2＝－1，则f(c)＝f(－1)＝－f(1)<0，所以f(c)<f(b)<f(a)．

13．定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则(　　)

A．f(11)<f(12)<f(21)　　　B．f(21)<f(12)<f(11)　　　C．f(11)<f(21)<f(12)　　　D．f(21)<f(11)<f(12)

13．答案　A　解析　函数f(x)的图象关于点(－2，0)对称，∴f(x－4)＝－f(－x)，又f(x)为定义在R上的奇

函数，所以－f(－x)＝f(x)，所以f(x－4)＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，则f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)，∵f(x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，则f(x)在(－2，2)上单调递增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21)．

14．写出一个满足f(x)＝f(2－x)的偶函数f(x)＝________．

14．答案　cos πx(常数函数也可，答案不唯一)　解析　取f(x)＝cos πx，证明过程如下：f(x)＝cos πx的定

义域为R，由f(－x)＝cos(－πx)＝cos πx＝f(x)，故f(x)为偶函数，又f(2－x)＝cos[π(2－x)]＝cos(2π－πx)＝cos πx＝f(x)．

题型三　函数的周期性与对称性

15．(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称且f(x＋3)＝f(x－3)，当x∈[0，3]时，

f(x)＝2^x＋2x－11，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)为偶函数　　　　　　　　　　　　　　　B．f(x)在[－6，－3]上单调递减

C．f(x)的图象关于直线x＝3对称　　　　　　　　D．f(2 023)＝－7

15．答案　ACD　解析　对于A，因为f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，所以f(x－

3)＝f(－x－3)，又f(x＋3)＝f(x－3)，所以f(x＋3)＝f(－x－3)，所以f((x－3)＋3)＝f(－(x－3)－3)，即f(x)＝f(－x)，所以函数为偶函数，故A正确；对于B，因为f(x＋3)＝f(x－3)，所以f((x＋3)＋3)＝f((x＋3)－3)，即f(x＋6)＝f(x)，所以函数是周期为6的周期函数，当x∈[－6，－3]时，x＋6∈[0，3]，因为当x∈[0，3]时，f(x)＝2^x＋2x－11，函数在[0，3]上单调递增，所以当x∈[－6，－3]时，f(x)＝f(x＋6)＝2^x＋6＋2(x＋6)－11，函数在[－6，－3]上单调递增，故B错误；对于C，因为f(x)＝f(－x)，且f(x)的周期为6，所以f(x－3)＝f(－(x－3))＝f(3－x)＝f(x＋3)，所以f(x)的图象关于直线x＝3对称，故C正确；对于D，f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)，又x∈[0，3]时，f(x)＝2^x＋2x－11，所以f(2 023)＝f(1)＝2¹＋2×1－11＝－7，故D正确．

16．已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对

称，f(－1)＝2，则f(2 025)＝________．

16．答案　2　解析　由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故

f(x)为偶函数．又由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为8的偶函数．∴f(2 025)＝f(1＋253×8)＝f(1)＝f(－1)＝2．

17．已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下列说法正确的是(　　)

A．函数f(x)是以2为周期的周期函数　　　　　　　B．函数f(x)是以4为周期的周期函数

C．函数f(x＋2)为偶函数　　　　　　　　　　　　D．函数f(x－3)为偶函数

17．答案　BC　解析　依题意知f(x)是偶函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，所以A

错误．f(x)＝－f(x－2)＝－[－f(x－2－2)]＝f(x－4)，所以B正确．f(x＋2)＝f(x－2＋4)＝f(x－2)＝f(－(x－2))＝f(－x＋2)，所以函数f(x＋2)为偶函数，C正确．若f(x－3)是偶函数，则f(x－3)＝f(－x－3)＝f(x＋3)，则函数f(x)是周期为6的周期函数，这与上述分析矛盾，所以f(x－3)不是偶函数．D错误．

18．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x³－3x，则

f(2 023)等于(　　)

A．1　　　　　　　　B．－2　　　　　　　　C．－1　　　　　　　　D．2

18．答案　D　解析　由题意知，函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)的图象关于直线x＝1对称，又

由f(－x)＝－f(x)，可得f(x)的图象关于点(0，0)对称，所以函数f(x)是周期为4的函数，所以f(2 023)＝f(－1)，因为当x∈[－1，1]时，f(x)＝x³－3x，则f(2 023)＝f(－1)＝2．

19．已知函数f(x)满足：f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且f(x＋2)＝，当2≤x≤3时，f(x)＝log₂，

则f 的值为(　　)

A．2　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．6

19．答案　B　解析　因为f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(x)的图象关于直线x＝0对称，即函

数f(x)为偶函数，因为f(x＋2)＝，所以函数f(x)是周期函数，且T＝4，所以f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝log₂＝3．

20．设函数f(x)为定义在R上的函数，对∀x∈R都有：f(x)＝f(－x)，f(x)＝f(2－x)；且函数f(x)对∀x₁，x₂∈[0，

1]，x₁≠x₂，有>0成立，设a＝f ，b＝f(log₄3)，c＝f ，则a，b，c的大小关系为________．

20．答案　c<a<b　解析　∵f(x)＝f(－x)，f(x)＝f(2－x)，∴f(x＋2)＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝f(x)，又∵对∀x₁，

x₂∈[0，1]，x₁≠x₂，有>0成立，∴函数f(x)为偶函数、周期为2，在[0，1]上单调递增，∴c＝f ＝f ，a＝f ＝f ＝f ，∵b＝f(log₄3)，其中log₄3∈，∴<<log₄3．由函数f(x)在[0，1]上单调递增，可知c<a<b．

21．(多选)已知奇函数f(x)的定义域为R，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，以下关于函数f(x)的说法正确的为(　　)

A．f(x)满足f(8－x)＝f(x) 　　　　　　　　B．8为f(x)的一个周期

C．f(x)＝sin 是满足条件的一个函数　　D．f(x)有无数个零点

21．答案　BCD　解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)是奇函数，∴f(4＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(8＋x)＝－f(x＋

4)＝f(x)，∴8为f(x)的一个周期，故B正确；由f(8＋x)＝f(x)可得f(8－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(8－x)＋f(x)＝0，故A不正确；f(x)＝sin 满足f(x)＋f(－x)＝0，为奇函数，且图象的一条对称轴为直线x＝2，故C正确；由f(x)为奇函数且定义域为R知，f(0)＝0，又f(x)为周期函数，∴f(x)有无数个零点，故D正确．

22．(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x³，则下列结论错误的是

(　　)

A．f(2 021)＝0　　　　　　　　　　　　　　　B．2是f(x)的一个周期

C．当x∈(1，3)时，f(x)＝(1－x)³　　　　　　　D．f(x)＞0的解集为(4k，4k＋2)(k∈Z)

22．答案　ABC　解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，

∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)的最小正周期是4，故B错误；f(2 021)＝f(1)＝1，故A错误；∵当x∈[0，1]时，f(x)＝x³，f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x∈[－1，1]时，f(x)＝x³，当x∈(1，3)时，2－x∈(－1，1)，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)³，故C错误；易知当x∈(0，2)时，f(x)＞0，∵f(x)的最小正周期是4，∴f(x)＞0的解集为(4k，4k＋2)(k∈Z)，故D正确．

题型四　抽象函数

23．设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(8)＝3，则f()＝________．

23．答案　　解析　∵f(8)＝3，∴f(2×4)＝f(2)＋f(4)＝f(2)＋f(2×2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)＝3，∴f(2)＝

1．∵f(2)＝f(×)＝f()＋f()＝2f()，∴2f()＝1，∴f()＝．

24．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，则f(4)＝________．

24．答案　7　解析　令x＝y＝1，则f(2)＝f(1)＋f(1)＋1＝3．令x＝y＝2，则f(4)＝f(2)＋f(2)＋1＝7．

25．(多选)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，则函数f(x)满足(　　)

A．f(0)＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．y＝f(x)是奇函数　　

C．f(x)在[1，2]上有最大值f(2)　　　　　　　　　D．f(x－1)＞0的解集为{x|x＜1}

25．答案　ABD　解析　令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，故f(0)＝0，A正确；令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)

＝0，即f(x)＝－f(－x)，故函数f(x)为奇函数，B正确；设x₁＜x₂，则x₁－x₂＜0，由题意可得f(x₁－x₂)＞0，即f(x₁)＋f(－x₂)＝f(x₁)－f(x₂)＞0，即f(x₁)＞f(x₂)，故函数f(x)为R上的减函数，∴f(x)在[1，2]上的最大值为f(1)，C错误；f(x－1)＞0等价于f(x－1)＞f(0)，又f(x)为R上的减函数，故x－1＜0，解得x＜1，D正确．

26．已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且f＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，如果x满足f(x)－f≤2，

则x的取值范围为________．

26．答案　(3，4]　解析　∵f＝f(x)－f(y)，∴f(y)＋f＝f(x)．在上述等式中取x＝4，y＝2，则有f(2)

＋f(2)＝f(4)．又∵f(2)＝1，∴f(4)＝2．∴f(x)－f≤2可变形为f(x(x－3))≤f(4)．又∵f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，∴解得3＜x≤4．故x的取值范围是(3，4]．