§2.7 指数与指数函数
考试要求
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
知识梳理
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂：
＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：
＝
＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0<y<1
当x<0时，y>1；
当x>0时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝－4.( × )
(2)2a·2b＝2ab.( × )
(3)函数y＝x－1的值域是(0，＋∞)．( × )
(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.( × )
教材改编题
1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于( )
A．不确定 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，
由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.
2．计算：
＝________.
答案 1
解析 原式＝
＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.
3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.
答案 2或
解析 若a>1，则f (x)max＝f(1)＝a＝2；若0<a<1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝.
题型一 指数幂的运算
例1 计算：
(1)(－1.8)0＋－2·－＋；
(2)
(a>0，b>0)．
解 (1)(－1.8)0＋－2·－＋
＝1＋
＝1＋2·2－10＋33
＝1＋1－10＋27＝19.
(2)
＝
＝2××8＝.
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
跟踪训练1 计算：
(1)
；
(2)
.
解 (1)因为有意义，所以a>0，
所以原式＝
＝÷＝a÷a＝1.
(2)原式＝
＝10－1＋8＋23·32＝89.
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是( )
A．a<b
B．若a<0，则b<a<0
C．|a|<|b|
D．若0<a<log32，则ab<ba
答案 BCD
解析 如图，
由指数函数的图象可知，0<a<b或者b<a<0，所以A错误，B，C正确；
D选项中，0<a<log32⇒0<a<b<1，则有ab<aa<ba，所以D正确．
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
答案 (0,2)
解析 在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．
∴b的取值范围是(0,2)．
思维升华 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
跟踪训练2 (多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1
B．0<a<1
C．b>0
D．b<0
答案 BD
解析 由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，
∴0<a<1，故B正确；
分析可知，
函数f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象向左平移所得，如图，
∴－b>0，∴b<0，故D正确．
题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式大小
例3 设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则( )
A．b<c<a B．c<a<b
C．a<b<c D．b<a<c
答案 D
解析 b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，
所以b<a<c.
命题点2 解简单的指数方程或不等式
例4 (2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是( )
A．[2,4] B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
答案 D
解析 ∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，
∴1≤4x－3·2x＋3≤7.
∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.
∴x≤0或1≤x≤2.
命题点3 指数函数性质的综合应用
例5已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数．
(1)求a的值；
(2)若∀x∈[1,2], 都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．
解 (1)f(x)＝×2x＋，
因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以×＋2x＝－，
所以＝0，
即＋1＝0，解得a＝－1.
(2)因为f(x)＝－2x，x∈[1,2]，
所以－22x≥m，
所以m≥＋2x，x∈[1,2]，
令t＝2x，t∈[2,4]，
由于y＝t＋在[2,4]上单调递增，
所以m≥4＋＝.
思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练3 (1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝，下列说法正确的有( )
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的值域为(－1,1)
D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0
答案 AC
解析 对于A中，由f(－x)＝＝－＝－f(x)，可得函数f(x)为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
对于C中，设y＝，可得3x＝，所以>0，即<0，解得－1<y<1，即函数f(x)的值域为(－1,1)，所以C正确；
对于D中，对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0，可得函数f(x)为减函数，
而f(x)＝＝1－为增函数，所以D错误．
(2)已知函数f(x)＝
，若f(x)有最大值3，则a的值为________．
答案 1
解析 令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，
∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，
则解得a＝1.
课时精练
1．若m＝，n＝，则m＋n的值为( )
A．－7 B．－1 C．1 D．7
答案 C
解析 m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.
2．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为( )
A. B．1 C. D．2
答案 D
解析 由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝.
当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
当a＝时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．
∴a＝2.
3．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
答案 D
解析 当a>1时，0<<1，函数y＝ax的图象为过点(0,1)的上升的曲线，函数y＝ax－的图象由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度可得，故A，B错误；
当0<a<1时，>1，函数y＝ax的图象为过点(0,1)的下降的曲线，函数y＝ax－的图象由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度可得，故D正确，C错误．
4．已知
＝5，则的值为( )
A．5 B．23 C．25 D．27
答案 B
解析 因为
＝5，所以
＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23，
所以＝x＋＝x＋x－1＝23.
5．(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则( )
A．2a＋2b>2
B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1
C．2a＋2b＝2
D．a＋b<0
答案 CD
解析 画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．
由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错，C对．
由基本不等式可得2＝2a＋2b>2＝2，所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错，D对．
6．(2023·枣庄模拟)对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f(x)＝
x的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为( )
A．(0,6] B．(0,20]
C．[2,6] D．[2,20]
答案 C
解析 令x－1＝0得x＝1，y＝2，即函数图象必过定点(1,2)，
所以m＝1，n＝2，
f(x)＝x＝2x，由
解得x∈[0,1]，
g(x)＝f(2x)＋f(x)＝22x＋2x，令t＝2x，
则y＝t2＋t，t∈[1,2]，
所以g(x)的值域为[2,6]．
7．计算化简：
(1)
＝________；
(2)
＝________.
答案 (1)0.09 (2)
解析 (1)
＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.
(2)
＝
＝
＝
8．已知函数f(x)＝3x＋1－4x－5，则不等式f(x)<0的解集是________．
答案 (－1,1)
解析 因为函数f(x)＝3x＋1－4x－5，
所以不等式f(x)<0即为3x＋1<4x＋5，
在同一平面直角坐标系中作出y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象，如图所示，
因为y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象都经过A(1,9)，B(－1,1)，
所以f(x)<0，即y＝3x＋1的图象在y＝4x＋5图象的下方，
所以由图象知，不等式f(x)<0的解集是(－1,1)．
9．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围．
解 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验k＝2符合题意，∴k＝2.
(2)f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，
∵f(1)<0，
∴a－<0，又a>0，且a≠1，
∴0<a<1，
从而y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增，
故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，
不等式f(m2－2)＋f(m)>0
可化为f(m2－2)>f(－m)，
∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，
解得－2<m<1，
∴实数m的取值范围是(－2,1)．
10．(2023·武汉模拟)函数f(x)＝a2x＋ax＋1(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为13，求实数a的值．
解 由f(x)＝a2x＋ax＋1，
令ax＝t，则t>0，
则y＝t2＋t＋1＝2＋，
其对称轴为t＝－.
该二次函数在上单调递增．
①若a>1，由x∈[－1,1]，得t＝ax∈，
故当t＝a，即x＝1时，
ymax＝a2＋a＋1＝13，解得a＝3或a＝－4(舍去)．
②若0<a<1，由x∈[－1,1]，
可得t＝ax∈，
故当t＝，即x＝－1时，
ymax＝2＋＋1＝13.
解得a＝或a＝－(舍去)．
综上可得，a＝3或.
11．(多选)(2022·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝a·|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是( )
A．a＋b＝0
B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0
C．若x<y<0，则f(x)<f(y)
D．f(x)的值域为[0,2)
答案 ABD
解析 ∵函数f(x)＝a·|x|＋b的图象过原点，
∴a＋b＝0，即b＝－a，f(x)＝a·|x|－a，
且f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，
∴b＝2，a＝－2，f(x)＝－2·|x|＋2，故A正确；
由于f(x)为偶函数，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，
则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确；
由于在(－∞，0)上，f(x)＝2－2·2x单调递减，
故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误；
∵|x|∈(0,1]，
∴f(x)＝－2·|x|＋2∈[0,2)，故D正确．
12．(2022·长沙模拟)若ex－ey＝e，x，y∈R，则2x－y的最小值为________．
答案 1＋2ln 2
解析 依题意，ex＝ey＋e，ey>0，
则e2x－y＝＝＝ey＋＋2e≥2＋2e＝4e，
当且仅当ey＝，即y＝1时取“＝”，
此时，(2x－y)min＝1＋2ln2，
所以当x＝1＋ln2，y＝1时，2x－y取最小值1＋2ln 2.
13．(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为( )
A．f(cx)≥f(bx) B．f(cx)≤f(bx)
C．f(cx)>f(bx) D．f(cx)＝f(bx)
答案 A
解析 根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，
则有＝1，即b＝2，
又由f(0)＝3，得c＝3，
所以bx＝2x，cx＝3x，
若x<0，则有cx<bx<1，
而f(x)在(－∞，1)上单调递减，
此时有f(bx)<f(cx)，
若x＝0，则有cx＝bx＝1，
此时有f(bx)＝f(cx)，
若x>0，则有1<bx<cx，
而f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
此时有f(bx)<f(cx)，
综上可得f(bx)≤f(cx)．
14．(2023·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________．
答案
解析 ∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，
∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)，
∴
＋m－1＝－
－m＋1，
∴2m＝－
－
＋2，
构造函数y＝－
－
＋2，
x0∈[－1,1]，
令t＝
，t∈，
则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，
在(1,3]上单调递减，
∴当t＝1时，函数取得最大值0，
当t＝或t＝3时，
函数取得最小值－，
∴y∈，
又∵m≠0，∴－≤2m<0，
∴－≤m<0.
