§7.4 空间直线、平面的平行
考试要求
1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
⇒a∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
⇒a∥b
2．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
⇒β∥α
性质定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
⇒a∥b
常用结论
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
4．若α∥β，a⊂α，则a∥β.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )
(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × )
(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( × )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行．( × )
教材改编题
1．平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
答案 D
解析 若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，排除B；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C.
2．(多选)已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A．若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β
B．若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l
C．若m⊥α，l⊥m，则l∥α
D．若m∥α，m⊂β，α∩β＝l，则m∥l
答案 AD
解析 对于A，若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β，A正确；
对于B，若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l或l，m异面，B错误；
对于C，若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，C错误；
对于D，由线面平行的性质知正确．
3. 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．
答案 平行四边形
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD, PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．
求证：BE∥平面PAD.
证明 方法一 如图，取PD的中点F，连接EF，FA.
由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF∥CD，且EF＝CD＝2.
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.
又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
方法二 如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
∴＝＝，即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，
又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.
方法三 如图，取CD的中点H，连接BH，HE，
∵E为PC的中点，∴EH∥PD，
又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，
又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，
∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE，
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD.
命题点2 直线与平面平行的性质
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
证明 如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥OM，
又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
思维升华 (1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
跟踪训练1 如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l.证明：
(1)DF∥平面PBE；
(2)DF∥l.
证明 (1)取PB中点G，连接FG，EG，
因为点F为PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝BC，
因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，
所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，
所以DF∥GE，因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE；
(2)由(1)知DF∥平面PBE，
又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，
所以DF∥l.
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，证明：B1D1∥l.
证明 (1)由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1，
所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以BD∥B1D1.
又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C.
又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1,
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面CD1B1＝l，
平面ABCD∩平面A1BD＝BD，
所以l∥BD，
又B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
思维升华 (1)证明面面平行的常用方法
①利用面面平行的判定定理．
②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．
(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线．
跟踪训练2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，
∴平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
题型三 平行关系的综合应用
例4 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.
解 如图，在平面PCD内，过点E作EG∥CD交PD于点G，连接AG，
在AB上取点F，使AF＝EG，
因为EG∥CD∥AF，EG＝AF，
所以四边形FEGA为平行四边形，所以EF∥AG.
又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.
所以点F即为所求的点．
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.
所以PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2.
设PA＝x，则PC＝，由PB·BC＝PC·BE，得·a＝·a，
所以x＝a，即PA＝a，所以PC＝a.
又CE＝＝a，所以＝，所以＝＝，
即GE＝CD＝a，所以AF＝a.
故点F是AB上靠近B点的一个三等分点．
思维升华 解决面面平行问题的关键点
(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”．
(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法．
跟踪训练3 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
解 (1)当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，
∴点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.
又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.
∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1.
因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.
∴＝，＝.
又＝1，∴＝1，即＝1.
课时精练
1. 如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则( )
A．EF∥PA
B．EF∥PB
C．EF∥PC
D．以上均有可能
答案 B
解析 由线面平行的性质定理可知EF∥PB.
2．已知三条互不相同的直线l，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：
①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；
②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；
③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 C
解析 对于①，两条异面直线分别在两个平面内，这两个平面可能平行，也可能相交，故①错误；
对于②，两个平行平面内分别有一条直线，这两条直线的位置关系是平行或异面，故②错误；
对于③，因为l∥γ，l⊂α，α∩γ＝n，所以由线面平行的性质定理可得l∥n，同理l∥m，所以m∥n，故③正确，
因此真命题的个数为1.
3. 在如图所示的三棱柱ABC －A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
答案 B
解析 在三棱柱ABC －A1B1C1中，AB∥A1B1，
∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，
∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.
4．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
答案 C
解析 由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．
5．(多选)(2022·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是( )
答案 AC
解析 对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，
DE⊂平面DEF，
∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；
对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；
对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，
∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；
对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，
又D为BC的中点，∴AB∥OD，
∵OD与平面DEF相交，
∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．
6. (2023·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A．MF∥EB
B．A1B1∥NE
C．四边形MNEF为平行四边形
D．四边形MNEF为梯形
答案 D
解析 由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，
M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，
故A错误；
由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；
∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，
BN＝2NB1，
∴AM∥BN，AM＝BN，
故四边形AMNB为平行四边形，
∴MN∥AB.
又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
又MN⊂平面MNEF，
平面MNEF∩平面ABC＝EF，
∴MN∥EF，∴EF∥AB，
显然在△ABC中，EF≠AB，
∴EF≠MN，
∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．
7.如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝2 cm，DE＝4 cm，EF＝3 cm，则AC的长为________cm.
答案
解析 过点D作直线AB的平行线分别交平面β与平面γ于点M，N，连接AD，BM，CN，ME，NF，如图所示，所以AD∥BM∥CN，ME∥NF，
所以＝＝，因为AB＝2 cm，DE＝4 cm，EF＝3 cm，所以＝，解得BC＝ cm，
所以AC＝AB＋BC＝2＋＝(cm)．
8. 如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________．
答案 矩形
解析 因为CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.
同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形．
又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF，所以平行四边形EFGH为矩形．
9.如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明 (1)如图，设DF与GN的交点为O，连接AE，则AE必过点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
10．如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知BC∥AD，BP⊥AD，垂足为P，将△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，连接AD，AC，M为棱AD的中点，连接CM.
试分别在BP，CD上确定点E，F，使平面MEF∥平面ABC.
解 E，F分别为BP，CD的中点时，可使平面MEF∥平面ABC，证明如下：
如图，取BP的中点E，CD的中点F，连接ME，MF，EF.
∵M，F分别为AD，CD的中点，
∴MF∥AC.
∵MF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴MF∥平面ABC，
又E为BP的中点，且四边形PBCD为梯形，
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，
∵MF∩EF＝F，MF，EF⊂平面MEF，
∴平面MEF∥平面ABC.
11. (多选)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是( )
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行
D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值
答案 ACD
解析 由题图，显然A是正确的，B是错误的；对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG，
所以A1D1∥FG且FG⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C是正确的；
因为水是定量的(定体积V)．所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝(定值)，即D是正确的．
12. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，直线PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为( )
A. B．2
C．2 D．2
答案 C
解析 ∵PD与平面CEF交于点H，∴平面CEF∩平面PCD＝CH.∵EF∥平面PCD，∴EF∥CH，过点H作HM∥PA交AD于点M，连接CM，如图所示．
∵EF∩AP＝F，CH∩HM＝H，
∴平面AEF∥平面CHM.
∵平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面CHM∩平面ABCD＝CM，∴AE∥CM.又BC∥AM，∴四边形ABCM为平行四边形，∴AM＝BC＝2.又AD＝4，∴M是AD的中点，则H为PD的中点，∴CH＝＝＝2.
13. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1与截面AD1C的位置关系是________，A1B与平面DD1C1C的位置关系是________．
答案 相交 平行
解析 A1B1与截面AD1C相交，
由题意得A1B∥D1C，而A1B⊄平面DD1C1C，D1C⊂平面DD1C1C，
所以A1B∥平面DD1C1C.
14．如图，在四面体ABCD中，M，N分别是平面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
答案 平面ABC，平面ABD
解析 如图，连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点，由＝＝，得MN∥AB，又AB⊂平面ABC，AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABC，MN⊄平面ABD，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
15. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是( )
A. B.
C. D．[，]
答案 B
解析 如图，取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，
可以证明平面A1MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上．因为A1M＝A1N＝＝，
MN＝＝，
所以当点P位于M，N点时，A1P最大，当点P位于MN的中点O时，A1P最小，此时A1O＝＝，所以≤|A1P|≤，所以线段A1P长度的取值范围是.
16. 如图，矩形ABCD所在平面与以BC为直径的圆所在平面垂直，O为BC中点，M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，AB＝1，BC＝2.
(1)求异面直线AO与CM所成角的余弦值；
(2)设点P是线段AM上的点，且满足AP＝λPM，若直线CM∥平面BPD，求实数λ的值．
解 (1)取AD中点N，连接CN，MN，OM，ON，如图，
因为ABCD为矩形，O，N分别为BC，AD中点，
所以AO∥CN，
所以∠MCN(或其补角)就是异面直线AO与CM所成角，
因为平面ABCD⊥平面BCM，平面ABCD∩平面BCM＝BC，
在矩形ABCD中，NO⊥BC，NO⊂平面ABCD，
所以NO⊥平面BCM，
又OM⊂平面BCM，所以NO⊥OM，
在△MON中，∠MON＝90°，OM＝NO＝1，
所以MN＝，
又M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，
所以CM＝1，
在△MCN中，CN＝，
由余弦定理的推论可得cos∠MCN＝＝，
所以异面直线AO与CM所成角的余弦值为.
(2)如图，连接PB，PD，连接BD交AC于点Q，连接PQ，
因为直线CM∥平面BPD，直线CM⊂平面ACM，平面BPD∩平面ACM＝PQ，
所以CM∥PQ，
因为矩形ABCD的对角线交点Q为AC中点，
所以PQ为△AMC的中位线，
所以P为AM中点，AP＝PM，
又AP＝λPM，
所以λ的值为1.
