【题记】
又逢烟雨柳芽萌，三三两两杏花粉，临别折取一枝香，寻思春色添几分。
马云认为：“一个创业者身上最优秀的素质，那就是永远乐观。乐观不仅是自己安慰自己，左手温暖右手，还要把自己的快乐分享给别人。唯有这样，人生的路才会走得长远。”
在线学习评价应重点关注三类目标：知识建构、批判性思维和问题解决。知识建构强调在线学习环境下，学习者与他人协作，通过完成任务、解决问题来协同建构知识；批判性思维是学习者在学习过程中体现的解释、分析、评估、推论、反思等思维过程；问题解决是指学习者针对特定问题，通过新旧知识之间的相互作用来建立更深层的、丰富灵活的认知结构。这三类目标对于在线学习是否成功具有重要价值。
不少人玩过魔方，一定曾被它的“魔力”所吸引。
小小魔方，结构奇特：26个棱长为1.9厘米的小立方体，能自由地围绕一个同样大小的中心块旋转；其中的边块和角块可以分别转至任何其他边块和角块的位置。它最基本的玩法是：当各面的颜色被打乱之后，用尽可能少的动作，使之恢复原位。
这个由匈牙利建筑学教授鲁毕克设计的小玩意儿，为什么能风靡全球，令众多人如痴如狂呢？原因就在于它有约3400亿亿种不同的变化，有很强的开放性和探究性，能够不断刺激人们去把玩，虽然能获得小小的成功，但想获得最完善的结局，是要付出更多努力的。又因为其解法是没有穷尽的，带有极强的挑战性，因而这种努力人们却是愿意付出的，最后也就百玩不厌了。
说到这儿，我联想到小学数学教学。在小学数学中，是不是也可以引进一些类似魔方的“东西”，让学生在玩中学，学中玩，来促进学生更“个性化”地学习呢？因为现行的数学教育，轻慢学生真实的生活状态，总是以正统甚至霸权的书本知识来“俘获”学生，将学生从现实感中“悬置”起来。学生本是生活在现实中，但一旦进入数学学习状态，又很容易地形成与生活的“间离感”，致使学习数学的过程成了对活生生世界“陌生化”的过程，亲历的生活却往往成为另类。
试想一下：如果学生在没有任何“好奇”、“疑惑”、“惊讶”、“兴奋”的体验中学习数学，学习的灵性、思维的火花又从何而来呢？
于是，我想到了“探究性数学游戏”。
什么是“探究性数学游戏”？怎样设计好的“探究性数学游戏”？我们在教学中开始了探索与实践。
我和同学们在课堂上玩的第一个探究性数学游戏是“移棋子”（有兴趣者请不妨一起来玩）──
取白色和黑色围棋子各3枚(也可用其它棋子、石子、瓶盖之类的东西代替)，在桌子上左边放3枚白的，右边放3枚黑的，紧挨着排成一行（如下图中的第0行）。规定每次可取出相邻的两子，但不能变动两子的先后顺序，把它们移到同行的任何空位上。要求移动3次，就能把它们排成黑白相间的一行，而且各子紧挨着，不留空隙（形如下左图第3行）。该怎样移？……怎么样，好玩吧？!(见下图)
以上情况称为“3对子”。如果觉得不过瘾，请再想想：如果是“4对子”该移几次、怎样移才行呢？(如右图)“5对子”、“6对子”……“N对子”分别该移几次、怎样移，才能由“黑白分明”移成“黑白相间”呢？这个问题留待读者去研究（数学家已经证明：“5对子”移5次，“6对子”移6次……“N对子”移N次）。
教学中，我把这个游戏介绍给小学一至六年级的学生，几乎每个学生都乐此不疲，苦苦探究不已（就连许多老师也颇感兴趣）。这是为什么呢？原因其实也很简单，因为它具有简易性（即游戏要求容易理解，可不分场合、人数、年龄）、操作性（要动手实践）、探究性（处于“愤悱”之间，欲罢不能，但反复尝试总能有所收获）和拓展性（从3对子、4对子、5对子到N对子无限拨高，不断向探究者智慧潜能发起挑战，不同年龄的学生可在获得某一阶段成功后，攀向新的高度）。
类似地，我设计了近30个这样“探究性数学游戏”(大多可参见笔者发表于2000年11月至2001年4月的《小学生周报》“不用计算的思维题”1-8和“数学思维游戏”1-11两组系列文章)，在学生对数学学习感到枯燥无味时，拿出来让学生“品味”一番，吊一吊他们的“胃口”。
“探究性数学游戏”既是一种娱乐，又是一种激发和锻炼学生心智的方法。学生通过把玩各种新颖有趣的“探究性数学游戏”，不仅增长知识，带来探究的乐趣，更重要的是培养他们良好的思维习惯，逗引他们在知识的海洋中遨游，在科学的矿藏中开掘，在神奇的大自然中索寻，从而不知不觉接受人类智慧的陶冶。
那么，什么是好的“探究性数学游戏”呢？通过一段时间的实验，我们觉得它应具备如下几个特点：
1、趣味性。即游戏要新奇有趣，使学生乐于接受，游戏本身的“魅力”或“魔力”(内在美)”就能激发起学生试玩的积极性。
2、简易性。即游戏的要求简单易记，要求的表述明白易懂。设计的游戏从总体上要充分考虑小学生的知识水平和心理年龄，考虑各年级学生可接受程度。
3、开放性。即游戏不指向一种结果，而像“魔方”那样，有很多很多的答案，这样不同差异的学生均能获得各自成功的心理体验。
4、拓展性。即具有一定的发展余地，可以由这个游戏引出新的游戏或问题，引发进一步的思考：有没有什么规律呢？有什么奥秘呢？使学生“欲罢不能”，进而试玩更高层的游戏，并探究不已。
5、生活性。即游戏应尽量与学生生活实际相关或联系，使他们在试玩中体会到：游戏会给自己和家人朋友带来生活的乐趣，玩游戏决不会玩物丧“智”，相反会越玩越聪明。
1、兼顾教材，更兼顾学龄特点
如“算24点”游戏，一年级可玩“加减法”，二年级加进“表内乘除”和“两步以内混合运算”的内容，三 四年级可进行稍复杂的四则运算，五年级可出现“小数的乘除”，六年级则可有“分数的四则运算”和“指数运算”，如：6÷(1－3÷4)＝24，（5－1÷5）×5＝24，52×1－1＝24，23×（2＋1）＝24。练习的形式可采用发卡片、自制卡片、小组赛、抢答赛、擂台赛等，以不断激发学生的兴趣和求知欲。
再如，上面的“移棋子”游戏，对于低年级学生来说，只要他们能玩出“3对子”和“4对子”就行了，不能无限度的拨高。再如“移动诺哈依之塔”也是这样。
2、可用“选宝贝”的办法进行
“选宝贝”的游戏方法，可以增加游戏的神秘感。学生从游戏“菜谱”中任意抽选出一个游戏来玩，这种活动本身应有无限的新奇感和满足感，使孩子从一开始就不感到游戏是一件令人疲惫的苦差事。
更为重要的是，这种游戏方法中还密藏着“能力发现”──在一段时间里，通过试玩难易难测、“神秘感”颇强的探究性“数学游戏游戏”，孩子们会在偶然间发现自己动手动脑的努力是有成效的，自己是有能力独自解决问题的，这是多么令他们高兴的事啊!这种成功的体验一定会使他们兴奋不已，形成强烈游戏兴趣和探究内驱力，从而为培养优良的思维习惯和品质创造最佳条件。
3、切不可急于揭开“谜底”
一个好的“探究性数学游戏”，如果早早就被揭了“谜底”，学生好奇心可能一下子就泯灭了，游戏兴趣也会急骤下降。因此，游戏不同于数学知识的教学，不要局限在一堂课就彻底解决某个问题，教师应给学生尽可能大的思维空间，让学生有充分的时间去试玩、把玩和探究。教师一定要耐得住性子，可适时采用“说一半，留一半”的教学策略，引导学生从中觅出其中的奥秘。当然，教师也要把握好“火候”，在该揭示时揭示“谜底”。
如，有一个“摸出同色球”的游戏：把一些形状、大小、重量都相等的玻璃小球放在布袋里，玻璃球颜色有红、绿、黄三种。现在不允许挑选，只允许你把手伸到布袋里任意摸取，问：至少摸几个小球，才能保证有三个小球是同 一种颜色的？这个游戏的目的是：让学生探究出类似“抽屉原理”的规律来。
游戏时，我采取“以退为进”的方法──先考虑两球同色问题，让学生充分试玩。后提问：“至少摸几个小球，才能保证有两个小球是同色的？”只摸两个小球行不行？回答是有可能同色，但不能保证。摸三个行不行？当然也有可能，但也有可能出现最为不利的情况，即这三个球是三种不同颜色。如果增至四个，则可断定：最后一个不论是什么颜色，都与前有三个球 中一个有相同的颜色，所以说至少摸四个小球，才能保证有两个小球是同色的。
通过边游戏边讨论，引导同学们对讨论进行小结。即应注意到问题的两个方面：“至少”和“才能保证”，它要求统一在一个问题中。否则当仅摸两个小球时，也有“可能”同色，但不能“保证”同色；如果仅考虑“保证”，摸出几个不限，那么又与“至少”相抵触。
紧接着，继续让学生试玩、探究。有时课上不能完成，课后还可进行，也可带回去和爸妈一起探讨。通过一段时间的探究，相信学生终于得出规律：至少要摸7个小球，才能保证三球同色。如果时间允许，学生愿意，可以继续请同学们想一想：至少摸几个小球，才能保证4个小球是同色的？至少摸几个小球，才能保证N个小球是同色的？以至探讨出最一般情况(即最终谜底)［3×（N－1）＋1］个。
总之，教师一定要切记：不提任何“目标”，“魅力”自在游戏中，过程比结果更重要。
4、适时介绍有关“信息”
许多好的游戏，都出自数学家之手，或与某个重要的数学分支相关联。因此，适时介绍与游戏相关的“信息”，可以让学生对“游戏”有更深刻的理解和认识。
如，“奇妙的纸带”游戏。
准备一张长20厘米、宽3厘米的纸条，一支铅笔，一瓶胶水，一把剪刀，一块橡皮，一把直尺。然后按下面的步骤进行：
①把刚才的那张长20厘米、宽3厘米的纸条的两面分别分成12个格子，一面上“从前有座山，山上有座庙，”。
②然后保持纸条下沿不离开桌面，手持纸条上沿将它翻过来，在背面上写“庙里有个老和尚，他在讲：”。如下图：
正面：
背面：
③把这张纸条扭转1800粘成一个纸圈，如下图：
④顺着纸条上的字念一念：“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，他在讲：从前有座山，山上有座庙……”
⑤提问：同学们，你们发现了什么？(噢!原来顺着纸条上的字念下去，永远也念不完)
游戏活动并没有到此结束，我适时介绍：这个奇妙的纸带其实是拓扑学中有名的以数学家名字命名的“梅比乌斯带”。可别小看这个小小的纸带，虽然制作起来十分简单，却奇特得叫人不可思议。例如，放一只蚂蚁到纸带上，让它沿着图中纸带上所写字的路线爬行（不经过纸的边沿），这只蚂蚁就可以一起爬遍纸带的两个面，而在普遍的没有旋转1800而粘贴的纸带上是不可能做到的。现在，这一成果已经在科技上得到了应用。如有一种电脑打印机（如AR3200＋打印机）用来打印文稿的色带就是根据这一原理做成的，这种色带是经过1800旋转后进行对接，这样可以使色带在打印中两面都得到充分利用，从而成倍地延长其使用寿命，大大节省了耗材。拓扑学这些有趣的性质，将有利于他们长大后去进行更深入地探索。
通过适时的“信息”透露，学生的知识面拓宽了，视野开阔了，这为学生的可持续发展打下良好的基础。
1、游戏是儿童重要的学习方式
生活中要比智慧，于是人类制造了智慧游戏，这些智慧型、探究性游戏其实大多是对工作的模拟。人们把工作中吸引人、激动人、兴奋人、推动人、鼓动人的特征巧妙而集中地在游戏中体现出来了；反过来，人们也从游戏中寻找到了工作的“影子”。正是因为游戏本身是激动人的 ，推动人的，吸引人的，鼓励人的，兴奋人的，因此它们都含着一种竞赛，含着一种兴奋，含着一种智慧，更含着一种快乐。
因此，教师一定要摒弃传统观念，把学习和游戏联系起来，要尽可能地创造条件，让孩子真正用“游戏”方式来学习，而不仅仅是在课堂上象征性地、例行公事地所谓“游戏”。
2、兴趣才是能力的源泉
让孩子怀着兴趣去学习的方法，其力量是无穷无尽的。游戏吸引孩子的最大奥秘是兴趣，是快乐，是兴奋，是自信，更是放松的心态。即便是有一定难度的游戏，学生也是愿意试一试的，他们会拼命去想，去做，去争优胜，这种一边游戏一边学习的做法，能使孩子们迅速而不断地进步，通过游戏孩子们能很快掌握所学的内容，能力也在这个过程中不知不觉地形成了，并会不断地向上生长。可以这样说：若能使学生说：“我也想玩玩”，那可以说是走出教学成功的第一步，同时也是最关键的一步了。
因此，兴趣才是能力的源泉，“探究性数学游戏”则是激发兴趣最好的方法之一。教师要学会用观赏、描述、暗示、夸奖、鼓励、榜样等方法来促进孩子学习。要努力在学生心目中培育一种新的学习观念，即用“游戏”的原则对待整个学习，像喜爱游戏那样喜爱自己的学习，要用游戏的方式来推动、激发、兴奋、奖励自己，使自己真正热爱学习，而绝不要削弱甚至毒化学习的快乐特征。
3、要帮助学生找到适合自己的学习方式
大家知道，学校不但应成为儿童长身体、长知识的地方，还应致力于培养各方面的能力──特别是好奇好问的能力、独立办事的能力、独自研究的能力、灵活应变的能力、动手实践的能力、勇于创新的能力、坚韧不拔的勇敢精神，以及对学习的信心和耐心等。但这些能力的培养均离不开学生的“主体性”，儿童总有一套能适合他们条件的学习方法。利用这些学习方法，他们才能有效而自然地学习。然而可笑的是：我们对儿童的一些教育却往往破坏了他们独特的学习方式，我们强要他们掌握的思维方法，不仅不适合儿童，有时甚至连教育者自己也很少用它。
我始终坚信：儿童若能用自己的独特的方法方式进行学习和思维，才能取得最佳的学习效果。
通过一段时间的“探究性游戏”的试玩，我们发现学生“会学习”了，他们接受新生事物的能力特别强，信心特别足，思维特灵活。他们总能用自己的方式进行思维和研究，而且这种“研究”不再局限于课堂，课外、家庭、社交场合，也成了他们与成人（老师、家长、亲戚、朋友、陌生人）“斗智斗勇”的场所；也不再限于数学学科，自然、社会、语文、历史、地理、科技、体育、艺术等等知识也在他们游戏中发挥着越来越大的作用，有时甚至会迸发出连他们自己也感到惊讶“思维火花”来。可以这样说，“探究性游戏”不仅促使他们学习了新知识，培养了新能力，接触了新的思维方法，而且增强了他们解决问题的信心、决心和对问题的敏感性。
4、“主题探究学习”是培养创新能力的重要途径
传统教学中，任意地把人文学（认为它不是科学）和科学（认为它是非人道主义的）分开，课程的编制主要是以分科的形式呈现的。教学分科的依据是沿袭知识的学科分类的逻辑，这种分科学习，过分地信赖记忆，给传统的、书面的和复述的方式以特殊的地位，损害了对学生口语表达、自发精神和创新能力的培养。尽管学生在这种分科学习中记住了许多知识，但是，知识的获得并没有形成有意义的认知结构，更没有焕发学生自主的学习动机，这对学生的可持续性发展显然是不利的。
现今的世界教育，正努力追求“个性化教学”。这种变革的教学理念就是要克服传统这种知识分裂的状况，以培养未来社会的“全人格”的主体为目的，努力做到教学与实际生活紧密相连。其中，“主题探索”教学策略是“个性化教学”中的一种重要的教学策略，它是把关于真实世界的知识按照各种主题的形式来设计，让学生在教师的引导下，依据自己的兴趣、能力，通过自由探索与实际问题相关的主题，来培养解决现实问题的意识和创造性。在“主题探索”中，知识编制的逻辑，不再是学科的逻辑，而是“问题解决”的逻辑了。
从我们的实验的情况来看，“探究性游戏”不失为一种好的“主题探索”的重要形式。因为它贴近儿童生活，以儿童生活中的实际问题来设计具有挑战性、拓展性、情境性的主题(或问题)，因而充分调动了儿童的学习兴趣，激发其创新思维，充分挖掘其智慧潜能，让自由自主地进攻地探究，同时也提高他们的操作能力和合作交往能力。
以上是我们前一阶段“探究性数学游戏”行动研究的一些收获。今后，我们将更加深入地探讨“探究性数学游戏”教学功能和教学策略，努力编制一套适合儿童年龄特点的“配套课程”来，为把研究推向科学化、民主化和规范化作出不懈地努力。
（本文发表于《教育实验通讯》，原题《探究性数学游戏的行动研究》）
1、［日］多湖辉著《幼儿才能开发─铃木的早期教育方法》，李镜流译，教育科学出版社，1984年。
2、[美]露茜·卡尔金斯著：《IQ家教启蒙─如何开发孩子的学习潜能》，胡翠君等译，海天出版社，1998年。
3、[英]帕梅垃·利伯克著：《怎样指导孩子学数学》，寿明道译，上海科学技术文献版社，1989年。
4、[前苏联]苏霍姆林斯基著：《给教师的建议》，杜殿坤编译，教育科学出版社，1984年。
5、［美］约翰·霍尔特著：《儿童学习法》，檀东星译，福建少年儿童出版社，1989年。
6、孔棣华、陈运林主编：《当代外国教学法》，广东教育出版社，1993年。
7、郑毓信著：《数学教育的现代发展》，江苏教育出版社，1999年。
8、张维忠著：《数学文化与数学课程》，上海教育出版社，1999。
9、孔企平编著：《小学儿童如何学数学》，华东师范大学出版社，2001年。
10、邓志伟著：《个性化教学论》，上海教育出版社，2000年。
11、张玺恩主编、李润泉副主编：《中国著名特级教师思想录·小学数学卷》，江苏教育出版社，1996年。
12、柯云路著：《把孩子培养成学习的天才－高效学习指导法》，新华出版社，1997年。
13、梁春燕编：《趣味数学游戏》，华南理工大学出版社，1994年。
14、方孝成、刘建光主编：《数学趣味游戏》，南海出版社，1997。
15、陶臣铨、毛澍编著：《数学思维游戏》，上海科技教育出版社，1997年。
16、凌启渝编译：《数学游戏》 ，天津科学技术出版社，1983年。
17、王坤元等编著：《巧算24点》，浙江少年儿童出版社，1997年。
18、陈平洋设计：《数学“24”游戏卡片》，金盾出版社，1996年。
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