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探究性数学游戏,一起来玩吧

题记

  • 又逢烟雨柳芽萌,三三两两杏花粉,临别折取一枝香,寻思春色添几分。

  • 马云认为:“一个创业者身上最优秀的素质,那就是永远乐观。乐观不仅是自己安慰自己,左手温暖右手,还要把自己的快乐分享给别人。唯有这样,人生的路才会走得长远。”

  • 在线学习评价应重点关注三类目标:知识建构、批判性思维和问题解决。知识建构强调在线学习环境下,学习者与他人协作,通过完成任务、解决问题来协同建构知识;批判性思维是学习者在学习过程中体现的解释、分析、评估、推论、反思等思维过程;问题解决是指学习者针对特定问题,通过新旧知识之间的相互作用来建立更深层的、丰富灵活的认知结构。这三类目标对于在线学习是否成功具有重要价值。

一、从玩魔方说起

不少人玩过魔方,一定曾被它的“魔力”所吸引。

小小魔方,结构奇特:26个棱长为1.9厘米的小立方体,能自由地围绕一个同样大小的中心块旋转;其中的边块和角块可以分别转至任何其他边块和角块的位置。它最基本的玩法是:当各面的颜色被打乱之后,用尽可能少的动作,使之恢复原位。

这个由匈牙利建筑学教授鲁毕克设计的小玩意儿,为什么能风靡全球,令众多人如痴如狂呢?原因就在于它有约3400亿亿种不同的变化,有很强的开放性和探究性,能够不断刺激人们去把玩,虽然能获得小小的成功,但想获得最完善的结局,是要付出更多努力的。又因为其解法是没有穷尽的,带有极强的挑战性,因而这种努力人们却是愿意付出的,最后也就百玩不厌了。

说到这儿,我联想到小学数学教学。在小学数学中,是不是也可以引进一些类似魔方的“东西”,让学生在玩中学,学中玩,来促进学生更“个性化”地学习呢?因为现行的数学教育,轻慢学生真实的生活状态,总是以正统甚至霸权的书本知识来“俘获”学生,将学生从现实感中“悬置”起来。学生本是生活在现实中,但一旦进入数学学习状态,又很容易地形成与生活的“间离感”,致使学习数学的过程成了对活生生世界“陌生化”的过程,亲历的生活却往往成为另类。

试想一下:如果学生在没有任何“好奇”、“疑惑”、“惊讶”、“兴奋”的体验中学习数学,学习的灵性、思维的火花又从何而来呢?

于是,我想到了“探究性数学游戏”。

二、关于“探究性数学游戏”

什么是“探究性数学游戏”?怎样设计好的“探究性数学游戏”?我们在教学中开始了探索与实践。

我和同学们在课堂上玩的第一个探究性数学游戏是“移棋子”(有兴趣者请不妨一起来玩)──

取白色和黑色围棋子各3枚(也可用其它棋子、石子、瓶盖之类的东西代替),在桌子上左边放3枚白的,右边放3枚黑的,紧挨着排成一行(如下图中的第0行)。规定每次可取出相邻的两子,但不能变动两子的先后顺序,把它们移到同行的任何空位上。要求移动3次,就能把它们排成黑白相间的一行,而且各子紧挨着,不留空隙(形如下左图第3行)。该怎样移?……怎么样,好玩吧?!(见下图)

以上情况称为“3对子”。如果觉得不过瘾,请再想想:如果是“4对子”该移几次、怎样移才行呢?(如右图)“5对子”、“6对子”……“N对子”分别该移几次、怎样移,才能由“黑白分明”移成“黑白相间”呢?这个问题留待读者去研究(数学家已经证明:“5对子”移5次,“6对子”移6次……“N对子”移N次)。

教学中,我把这个游戏介绍给小学一至六年级的学生,几乎每个学生都乐此不疲,苦苦探究不已(就连许多老师也颇感兴趣)。这是为什么呢?原因其实也很简单,因为它具有简易性(即游戏要求容易理解,可不分场合、人数、年龄)、操作性(要动手实践)、探究性(处于“愤悱”之间,欲罢不能,但反复尝试总能有所收获)和拓展性(从3对子、4对子、5对子到N对子无限拨高,不断向探究者智慧潜能发起挑战,不同年龄的学生可在获得某一阶段成功后,攀向新的高度)。

类似地,我设计了近30个这样“探究性数学游戏”(大多可参见笔者发表于200011月至20014月的《小学生周报》“不用计算的思维题”1-8和“数学思维游戏”1-11两组系列文章),在学生对数学学习感到枯燥无味时,拿出来让学生“品味”一番,吊一吊他们的“胃口”。

“探究性数学游戏”既是一种娱乐,又是一种激发和锻炼学生心智的方法。学生通过把玩各种新颖有趣的“探究性数学游戏”,不仅增长知识,带来探究的乐趣,更重要的是培养他们良好的思维习惯,逗引他们在知识的海洋中遨游,在科学的矿藏中开掘,在神奇的大自然中索寻,从而不知不觉接受人类智慧的陶冶。

那么,什么是好的“探究性数学游戏”呢?通过一段时间的实验,我们觉得它应具备如下几个特点:

1、趣味性即游戏要新奇有趣,使学生乐于接受,游戏本身的“魅力”或“魔力”(内在美)”就能激发起学生试玩的积极性。

2、简易性即游戏的要求简单易记,要求的表述明白易懂。设计的游戏从总体上要充分考虑小学生的知识水平和心理年龄,考虑各年级学生可接受程度。

3、开放性即游戏不指向一种结果,而像“魔方”那样,有很多很多的答案,这样不同差异的学生均能获得各自成功的心理体验。

4、拓展性即具有一定的发展余地,可以由这个游戏引出新的游戏或问题,引发进一步的思考:有没有什么规律呢?有什么奥秘呢?使学生“欲罢不能”,进而试玩更高层的游戏,并探究不已。

5、生活性。即游戏应尽量与学生生活实际相关或联系,使他们在试玩中体会到:游戏会给自己和家人朋友带来生活的乐趣,玩游戏决不会玩物丧“智”,相反会越玩越聪明

三、教学建议及注意点

1、兼顾教材,更兼顾学龄特点

“算24点”游戏,一年级可玩“加减法”,二年级加进“表内乘除”和“两步以内混合运算”的内容,三 四年级可进行稍复杂的四则运算,五年级可出现“小数的乘除”,六年级则可有“分数的四则运算”和“指数运算”,如:6÷(13÷4)24,(51÷5)×52452×112423×(21)=24。练习的形式可采用发卡片、自制卡片、小组赛、抢答赛、擂台赛等,以不断激发学生的兴趣和求知欲。

再如,上面的“移棋子”游戏,对于低年级学生来说,只要他们能玩出“3对子”和“4对子”就行了,不能无限度的拨高。再如“移动诺哈依之塔”也是这样。

2、可用“选宝贝”的办法进行

“选宝贝”的游戏方法,可以增加游戏的神秘感。学生从游戏“菜谱”中任意抽选出一个游戏来玩,这种活动本身应有无限的新奇感和满足感,使孩子从一开始就不感到游戏是一件令人疲惫的苦差事。

更为重要的是,这种游戏方法中还密藏着“能力发现”──在一段时间里,通过试玩难易难测、“神秘感”颇强的探究性“数学游戏游戏”,孩子们会在偶然间发现自己动手动脑的努力是有成效的,自己是有能力独自解决问题的,这是多么令他们高兴的事啊!这种成功的体验一定会使他们兴奋不已,形成强烈游戏兴趣和探究内驱力,从而为培养优良的思维习惯和品质创造最佳条件。

3、切不可急于揭开“谜底”

一个好的“探究性数学游戏”,如果早早就被揭了“谜底”,学生好奇心可能一下子就泯灭了,游戏兴趣也会急骤下降。因此,游戏不同于数学知识的教学,不要局限在一堂课就彻底解决某个问题,教师应给学生尽可能大的思维空间,让学生有充分的时间去试玩、把玩和探究。教师一定要耐得住性子,可适时采用“说一半,留一半”的教学策略,引导学生从中觅出其中的奥秘。当然,教师也要把握好“火候”,在该揭示时揭示“谜底”。

如,有一个“摸出同色球”的游戏:把一些形状、大小、重量都相等的玻璃小球放在布袋里,玻璃球颜色有红、绿、黄三种。现在不允许挑选,只允许你把手伸到布袋里任意摸取,问:至少摸几个小球,才能保证有三个小球是同 一种颜色的?这个游戏的目的是:让学生探究出类似“抽屉原理”的规律来。

游戏时,我采取以退为进”的方法──先考虑两球同色问题,让学生充分试玩。后提问:“至少摸几个小球,才能保证有两个小球是同色的?”只摸两个小球行不行?回答是有可能同色,但不能保证。摸三个行不行?当然也有可能,但也有可能出现最为不利的情况,即这三个球是三种不同颜色。如果增至四个,则可断定:最后一个不论是什么颜色,都与前有三个球 中一个有相同的颜色,所以说至少摸四个小球,才能保证有两个小球是同色的。

通过边游戏边讨论,引导同学们对讨论进行小结。即应注意到问题的两个方面:“至少”和“才能保证”,它要求统一在一个问题中。否则当仅摸两个小球时,也有“可能”同色,但不能“保证”同色;如果仅考虑“保证”,摸出几个不限,那么又与“至少”相抵触。

紧接着,继续让学生试玩、探究。有时课上不能完成,课后还可进行,也可带回去和爸妈一起探讨。通过一段时间的探究,相信学生终于得出规律:至少要摸7个小球,才能保证三球同色。如果时间允许,学生愿意,可以继续请同学们想一想:至少摸几个小球,才能保证4个小球是同色的?至少摸几个小球,才能保证N个小球是同色的?以至探讨出最一般情况(即最终谜底)3×(N1)+1]个。

总之,教师一定要切记:不提任何“目标”,“魅力”自在游戏中,过程比结果更重要。

4、适时介绍有关“信息”

许多好的游戏,都出自数学家之手,或与某个重要的数学分支相关联。因此,适时介绍与游戏相关的“信息”,可以让学生对“游戏”有更深刻的理解和认识。

如,“奇妙的纸带”游戏

准备一张长20厘米、宽3厘米的纸条,一支铅笔,一瓶胶水,一把剪刀,一块橡皮,一把直尺。然后按下面的步骤进行:

①把刚才的那张长20厘米、宽3厘米的纸条的两面分别分成12个格子,一面上“从前有座山,山上有座庙,”。

②然后保持纸条下沿不离开桌面,手持纸条上沿将它翻过来,在背面上写“庙里有个老和尚,他在讲:”。如下图:

正面:

背面:

③把这张纸条扭转1800粘成一个纸圈,如下图:

④顺着纸条上的字念一念:“从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚,他在讲:从前有座山,山上有座庙……”

⑤提问:同学们,你们发现了什么?(!原来顺着纸条上的字念下去,永远也念不完)

游戏活动并没有到此结束,我适时介绍:这个奇妙的纸带其实是拓扑学中有名的以数学家名字命名的“梅比乌斯带”。可别小看这个小小的纸带,虽然制作起来十分简单,却奇特得叫人不可思议。例如,放一只蚂蚁到纸带上,让它沿着图中纸带上所写字的路线爬行(不经过纸的边沿),这只蚂蚁就可以一起爬遍纸带的两个面,而在普遍的没有旋转1800而粘贴的纸带上是不可能做到的。现在,这一成果已经在科技上得到了应用。如有一种电脑打印机(如AR3200+打印机)用来打印文稿的色带就是根据这一原理做成的,这种色带是经过1800旋转后进行对接,这样可以使色带在打印中两面都得到充分利用,从而成倍地延长其使用寿命,大大节省了耗材。拓扑学这些有趣的性质,将有利于他们长大后去进行更深入地探索。

通过适时的“信息”透露,学生的知识面拓宽了,视野开阔了,这为学生的可持续发展打下良好的基础。

四、教学后的思考

1、游戏是儿童重要的学习方式

生活中要比智慧,于是人类制造了智慧游戏,这些智慧型、探究性游戏其实大多是对工作的模拟。人们把工作中吸引人、激动人、兴奋人、推动人、鼓动人的特征巧妙而集中地在游戏中体现出来了;反过来,人们也从游戏中寻找到了工作的“影子”。正是因为游戏本身是激动人的 ,推动人的,吸引人的,鼓励人的,兴奋人的,因此它们都含着一种竞赛,含着一种兴奋,含着一种智慧,更含着一种快乐。

因此,教师一定要摒弃传统观念,把学习和游戏联系起来,要尽可能地创造条件,让孩子真正用“游戏”方式来学习,而不仅仅是在课堂上象征性地、例行公事地所谓“游戏”。

2、兴趣才是能力的源泉

让孩子怀着兴趣去学习的方法,其力量是无穷无尽的。游戏吸引孩子的最大奥秘是兴趣,是快乐,是兴奋,是自信,更是放松的心态。即便是有一定难度的游戏,学生也是愿意试一试的,他们会拼命去想,去做,去争优胜,这种一边游戏一边学习的做法,能使孩子们迅速而不断地进步,通过游戏孩子们能很快掌握所学的内容,能力也在这个过程中不知不觉地形成了,并会不断地向上生长。可以这样说:若能使学生说:“我也想玩玩”,那可以说是走出教学成功的第一步,同时也是最关键的一步了。

因此,兴趣才是能力的源泉,“探究性数学游戏”则是激发兴趣最好的方法之一。教师要学会用观赏、描述、暗示、夸奖、鼓励、榜样等方法来促进孩子学习。要努力在学生心目中培育一种新的学习观念,即用“游戏”的原则对待整个学习,像喜爱游戏那样喜爱自己的学习,要用游戏的方式来推动、激发、兴奋、奖励自己,使自己真正热爱学习,而绝不要削弱甚至毒化学习的快乐特征。

3、要帮助学生找到适合自己的学习方式

大家知道,学校不但应成为儿童长身体、长知识的地方,还应致力于培养各方面的能力──特别是好奇好问的能力、独立办事的能力、独自研究的能力、灵活应变的能力、动手实践的能力、勇于创新的能力、坚韧不拔的勇敢精神,以及对学习的信心和耐心等。但这些能力的培养均离不开学生的“主体性”,儿童总有一套能适合他们条件的学习方法。利用这些学习方法,他们才能有效而自然地学习。然而可笑的是:我们对儿童的一些教育却往往破坏了他们独特的学习方式,我们强要他们掌握的思维方法,不仅不适合儿童,有时甚至连教育者自己也很少用它。

我始终坚信:儿童若能用自己的独特的方法方式进行学习和思维,才能取得最佳的学习效果。

通过一段时间的“探究性游戏”的试玩,我们发现学生“会学习”了,他们接受新生事物的能力特别强,信心特别足,思维特灵活。他们总能用自己的方式进行思维和研究,而且这种“研究”不再局限于课堂,课外、家庭、社交场合,也成了他们与成人(老师、家长、亲戚、朋友、陌生人)“斗智斗勇”的场所;也不再限于数学学科,自然、社会、语文、历史、地理、科技、体育、艺术等等知识也在他们游戏中发挥着越来越大的作用,有时甚至会迸发出连他们自己也感到惊讶“思维火花”来。可以这样说,“探究性游戏”不仅促使他们学习了新知识,培养了新能力,接触了新的思维方法,而且增强了他们解决问题的信心、决心和对问题的敏感性。

4、“主题探究学习”是培养创新能力的重要途径

传统教学中,任意地把人文学(认为它不是科学)和科学(认为它是非人道主义的)分开,课程的编制主要是以分科的形式呈现的。教学分科的依据是沿袭知识的学科分类的逻辑,这种分科学习,过分地信赖记忆,给传统的、书面的和复述的方式以特殊的地位,损害了对学生口语表达、自发精神和创新能力的培养。尽管学生在这种分科学习中记住了许多知识,但是,知识的获得并没有形成有意义的认知结构,更没有焕发学生自主的学习动机,这对学生的可持续性发展显然是不利的。

现今的世界教育,正努力追求“个性化教学”。这种变革的教学理念就是要克服传统这种知识分裂的状况,以培养未来社会的“全人格”的主体为目的,努力做到教学与实际生活紧密相连。其中,“主题探索”教学策略是“个性化教学”中的一种重要的教学策略,它是把关于真实世界的知识按照各种主题的形式来设计,让学生在教师的引导下,依据自己的兴趣、能力,通过自由探索与实际问题相关的主题,来培养解决现实问题的意识和创造性。在“主题探索”中,知识编制的逻辑,不再是学科的逻辑,而是“问题解决”的逻辑了。

从我们的实验的情况来看,“探究性游戏”不失为一种好的“主题探索”的重要形式。因为它贴近儿童生活,以儿童生活中的实际问题来设计具有挑战性、拓展性、情境性的主题(或问题),因而充分调动了儿童的学习兴趣,激发其创新思维,充分挖掘其智慧潜能,让自由自主地进攻地探究,同时也提高他们的操作能力和合作交往能力。

以上是我们前一阶段“探究性数学游戏”行动研究的一些收获。今后,我们将更加深入地探讨“探究性数学游戏”教学功能和教学策略,努力编制一套适合儿童年龄特点的“配套课程”来,为把研究推向科学化、民主化和规范化作出不懈地努力。

本文发表于《教育实验通讯》,原题《探究性数学游戏的行动研究》)

【主要参考文献】

1、[日]多湖辉著《幼儿才能开发─铃木的早期教育方法》,李镜流译,教育科学出版社,1984年。

2[]露茜·卡尔金斯著:《IQ家教启蒙─如何开发孩子的学习潜能》,胡翠君等译,海天出版社,1998年。

3[]帕梅垃·利伯克著:《怎样指导孩子学数学》,寿明道译,上海科学技术文献版社,1989年。

4[前苏联]苏霍姆林斯基著:《给教师的建议》,杜殿坤编译,教育科学出版社,1984年。

5、[美]约翰·霍尔特著:《儿童学习法》,檀东星译,福建少年儿童出版社,1989年。

6、孔棣华、陈运林主编:《当代外国教学法》,广东教育出版社,1993年。

7、郑毓信著:《数学教育的现代发展》,江苏教育出版社,1999年。

8、张维忠著:《数学文化与数学课程》,上海教育出版社,1999

9、孔企平编著:《小学儿童如何学数学》,华东师范大学出版社,2001年。

10、邓志伟著:《个性化教学论》,上海教育出版社,2000年。

11、张玺恩主编、李润泉副主编:《中国著名特级教师思想录·小学数学卷》,江苏教育出版社,1996年。

12、柯云路著:《把孩子培养成学习的天才-高效学习指导法》,新华出版社,1997年。

13、梁春燕编:《趣味数学游戏》,华南理工大学出版社,1994年。

14、方孝成、刘建光主编:《数学趣味游戏》,南海出版社,1997

15、陶臣铨、毛澍编著:《数学思维游戏》,上海科技教育出版社,1997年。

16、凌启渝编译:《数学游戏》 ,天津科学技术出版社,1983年。

17、王坤元等编著:《巧算24点》,浙江少年儿童出版社,1997年。

18、陈平洋设计:《数学“24”游戏卡片》,金盾出版社,1996年。

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