口算即心算：调动儿童的“心智”去算|江苏教育

【题记】

学习活动的三个层次中，除了知识、能力之外，气质是教育的终极目标，也是最重要的目标。那些最成功的人，他们身上都一些共同的气质：乐观、好奇、自信。

一流的人生，就是看着别人犯错误，自己不犯错误，吸取经验教训；二流的人生，是自己犯错误，自己吸取教训；三流的人生，是自己犯错误，自己还不吸取教训。

口算，就是“边心算边口说地运算” （或耳听题目口答结果，或看着题目口答结果），它是不借助计算工具（如笔、纸），直接通过思维和语言进行计算并得出结果的一种计算方法。它具有方便、快速、灵活的优点。

口算是“用你的脑子算”，而不是“在你的脑子里算”。口算时，计算者要将计算分割成很多的小过程，要将各种信息在头脑中进行合理的拆分、拼组等，并要在短时间内完成所有，得出正确结果，因此它是一种高级的心智活动。通过这样的心智活动，计算者锻炼了自己的思维，发展了注意力、记忆力（瞬间记忆力）和创造思维能力，也为个性化、多样化地解决问题提供了机会，这是口算的价值所在，也是课程安排口算教学内容的出发点。

一、复述、表征、组块与记忆

正规的学校教育为儿童提出了一个特别要面对的问题：它要求儿童将呈现在面前的信息按照计划课程的认真地记忆在自己的头脑里。作为口算的教学，无疑不能回避这个问题。

《数学课程标准》首次把“运算能力”作为“数与代数”板块与“数感”、“符号意识”相并列的一种能力，并明确指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力还有助于学生理解运算的算理，能够寻求合理简洁的运算途径解决问题。”

口算也不例外。就整数计算来说，其中的口算通常分为三类：

①基本型——一位数加法和相应的减法、表内乘除法。这是笔算及至所有计算的基础（不能否认这也是“笔算的台阶”），要求学生人人过关，不仅要计算正确，而且要熟练到能脱口而出。“脱口而出”要求口算答案输出的“自动化”；

②发展型——两位数加减整十数、两位数加减一位数、两位数加减两位数和两位数乘（除以）一位数等。前两种安排在相应的笔算之前进行教学，而后几种都是在笔算之后再教学。这类口算只要求掌握方法、正确计算，不再有速度的要求。《数学课程标准解读》指出：这类口算不再作为“笔算的台阶”，而是课程中相对独立的部分。但教师在实际教学中明显感觉到，如果这一类口算学生也能保持熟练，无疑更加显示出儿童在解决问题的优势和自信。

③灵活型——运用运算性质等进行简便运算。在这一类口算中，计算方法的“合理、灵活”和简算意识的高低即是其数学心智水平高低的主要标志。

在小学数学教学中，大都比较重视长时记忆，而对短时记忆的培养则比较忽视。其实短时记忆对小学生的数学能力的发展有关重要的意义。比如口算23＋19时，就需要短时记忆，如果短时记忆能力较弱，那么在十位数相加时，只算2加1的和是3，经常忘掉个位上满十进上来的1，这在两位数加两位数口算训练的早期是较为常见的现象。

也有专家觉得：用“工作记忆”代替“短时记忆”能够更加准确地说明这一部分记忆系统具有动态过程的特征，而不只是静态的存储。重要的是，信息在工作记忆进入意识后我们才能处理。如何避免或消除儿童口算中“工作记忆”的错误呢？

首先，“复述”是一个有效的教学策略。研究表明，工作记忆中的信息大约持续半分钟。如果要将信息加以修正并保存更长的时间，就必须通过复述过程得到重新存储与更新。如上面的“两位数加两位数口算”，如果学生错了，我们不妨减慢学习材料呈现的速度，并辅之以让孩子复述其计算过程，进而让他们自己在口述中知道“十位上要加个位上进的1”，这种个别指导就会大大增加“首因效应”，于是更为复杂的、逐渐积累式并且更加聪明的复述策略就会产生——“如果眼睛瞄到个位相加满十了，一定要在十位上的两个数相加时多加1；如果瞄到个位上的两个数相加不满十，不必考虑加1”。

其次，通过多感觉表征，也将会大大提高记忆的效率。现行教材中，试图通过许多情景图来进行口算的教学，无疑是帮助儿童“通过解决实际问题加强运算意义的理解”。《数学课程标准》明确指出：“应重视口算，加强估算，提倡算法多元化。”因此，老师在口算教学中既要努力做“算法多样化”引导者，更要做“算法优化”的促进者。这一点许多老师有很好的经验，不再赘述。

再次，有意义的“组块”策略是为了克服工作记忆的“有限空间”。有关研究表明，成年人短时记忆只能容纳7项信息，儿童工作记忆容量还要小。在这种情况下，必须为儿童提供“认知支架”。回忆一下我们自己学习驾驶的经验有助于理解儿童经验的性质。起初，想一想学驾全程都很困难，随后是不能进行握方向盘和换档。小学生学习每一起始阶段的口算时的情况就跟这人过程差不多。比如儿童起初学习小数乘除法的口算时，经常为小数点点错而苦恼，我们就利用“组块”来帮助孩子认清结果与两个已知数之间的关系：12×0.4、1.2×0.4、120×0.04、0.12×0.4……；4÷5、4÷50、0.4÷5、0.4÷0.5……，对于除数是小数的除法，还要求他们先把它转化成除数是整数的除法写在原式的下方，以减轻“工作记忆”的负担。渐渐地，孩子们就会厘清结果与两个已知数的之间的关系及运算规律，加之“估算”能力的同步培养，他们的口算水平也一定会渐渐提升起来了。

顺便说一句，在口算过程中，对于特别困难的学生，智慧的个别辅导、个别干预加上反馈激励是很好的手段，教学效果尤佳。

二、结构与建构

日常的口算教学或口算训练中，我们经常可以看到这样的做法：教师在课堂之初，总是拿着不断变换的卡片，不停地进行着口算训练，以期取得“熟能生巧”的教学效果。但实际情况却差强人意，原因何在？我们需要反思。

现代认知学习理论认为：让学生在练习中获得有关数运算方法及其结果的概括化记忆经验，是小学生运算思维敏捷的必要的和关键的认知结构变量。换句话说：儿童不获得这样记忆经验，就不可能迅速进行运算思维。由此，我们在进行口算训练时，有没有一个完整的知识结构呢？

就拿20以内的加法与减法口算来说，教材中教学中分课时进行的，我们要做的首先不应该是“打乱”卡片的无序训练，而是整齐排列的“完整呈现”，这样的呈现还要不断地进行，以促进儿童对数与数之间加减运算关系理解的不断深入。因为儿童总是通过简单计算逐步积累数学经验，再形成数的概念与组建认知结构的。如果教者煞费苦心地阻止一种明明无法阻止的记忆经验形成的做法，即认为这是在进行口算的思维训练，最终只能是使学生多做题，增强课业负担，走了弯路，效果却不佳。

我们曾进行研究过20以内加减法的知识结构表，并开展准对比试验。如下图，这是一张20以内加减法运算的知识结构表，有81对加减法关系。处在AC及其左上的45对数字，都是两数相加结果等于或小于10的，学生均能熟练掌握，不是构成口算速度差异的主要原因。构成儿童口算困难的是AC以下的36对数组成的习题。在这之中，又以BD为界，上下各16对，只是数字调换了位置而已，可以合二为一。BD框中是“对子数”相加的和学生容易记忆，运算也不易出错。

对比实验时，一种采用“打乱”卡片的训练法，一种采用“整体呈现结构化材料”，但两种实验总是鼓励学生尽可能记住结果。

结果显示，用后一种方法训练的成绩明显高于前一种。原因是：后一种口算训练时，结构化的口算训练材料，让儿童大脑中形成了20以内的加法口算结果的记忆经验；在注意整体的基础上，再侧重训练ABD区打“○”中的较为生疏的9对数字及其加减口算。同时，在这一区域特别加强对口算较慢的学生进行个别指导，让他们跟上全班学生的平均速度。而那些不提供结构化材料，只是“打乱卡片”进行口算训练的方法，学生的大脑中对二十以内数的加减法关系只是零碎的记忆经验，并未是一个“完形”，虽然他们的大脑中并不是完全没有可利用的记忆经验，但提取的速度明显慢许多。

上面的试验可以迁移到其它类型的口算训练中，我们一定要注意在一段时间的教学后给学生呈现一个“结构化”的完形材料，

三、建模与求简

《数学课程标准》修订稿（2007年4月）指出：要让学生“经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。”与原《数学课程标准》相比，明确提出了“建模”，以突显在运算教学的积极性。

口算训练中学生在瞬间要进行各种复杂的思维活动，它要求把算题进行分解、转换、变式、重组……从而达到迅速、准确的解答。口算训练的教学任务就是要在引导学生正确解答的同时，培养学生的思维能力，不断建立新的模式结构；建立数学模型又可以让学生更快、更好地解决问题，于是形成良好循环。

引导学生在学习中形成认知冲突，有助于学生建模。比如，在小数除法教后，教者出示了一道7÷25的算式，让学生笔算，当学生算完后，老师告诉学生：其实这道题，老师一看题目，马上就能知道得数了！同学们不信，于是老师迅速报出0.28！学生一片哗然。不行！一定是老师事先算好的，随便一道试试！老师说：有个要求，除数一定是25，被除数一位数、两位数都行的！于是有学生出题：9÷25，老师迅速报出0.36！学生再出题：42÷25，老师迅速报出1.68！学生开始沉思起来，老师于是引导大家一起思考：能不能从25上面去突破呢？渐渐地，同学们知道了：7÷25＝（7×4）÷（25×4）＝28÷100＝0.28。另外两道题也是同样的道理，只要把被除数乘4再除以100就行了，真灵！同学们不禁欢呼起来，为自己的探索成功而自豪！

于是，老师又出示了一组相关的题目，学生一个个争先恐后，口算出来了！接着，教者又将之迁移到7÷155，3÷1.25，3.1÷2.5这类题目上，同学们也能尝试着用口算进行计算了……

渐渐地，学生就能在解决问题中把它看作一个整体，直接计算，这就初步建立起了一定的模型。这些初步的模型的建立，通过不断地完善，就可以帮助学生“从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界”。

口算技能属于一种心智技能，心智技能具有简缩性特征——趋向于合并、省略或简化。因而，越是思维活动简约的，其技能越容易形成，复杂的思维活动总是阻碍技能的形成。要想让口算做到“用脑子去算”而不是“在脑子里算”，就必须引导学生把“灵活运用运算法则、运算性质使计算简便”的观念渗透于口算学习过程中，从而让学生把运算律具体问题的策略上升为一种自觉的简算意识。（本文曾发表于《江苏教育》）

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