数学(人新)二次函数全章复习 一. 教学内容：

二次函数全章复习

 

二、重点、难点：

二次函数的概念、图像及性质

 

【知识梳理】

1、基本内容的回顾

一般说来，我们称函数

（a、b、c为常数，a≠0）为x的二次函数，其图象为一条抛物线。

与抛物线有关的知识：

（1）抛物线的大致位置由a、b、c的符号来决定：

    ①当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下。

②a、b的符号相同时，抛物线的对称轴在y轴左侧；a、b的符号相反时，抛物线的对称轴在y轴右侧；当b=0时，抛物线的对称轴是y轴。

③当c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；当c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴；当c=0时，抛物线过原点。

（2）抛物线是轴对称图形，它的对称轴是直线

，抛物线在顶点

处取得最值。

（3）抛物线的解析式有三种形式：

    ①一般式：

（a≠0）；

②顶点式：

，（h，k）是顶点坐标；

③交点式：

（a≠0），其中x₁，x₂是方程

的两个实根。

（4）熟练掌握求抛物线与坐标轴的交点坐标，与直线的交点坐标和顶点坐标的方法。

2、二次函数知识应用

本章结束，我们已经学习了一次函数，反比例函数及二次函数。函数是解决数学问题的工具，它体现的是两变量之间的关系，我们要深刻的理解它。

把一个生产、生活中的实际问题转化成为数学问题，再应用函数解决，这需要观察、分析、建模。建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法。

例如：如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线形状，MN=4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米？

解：建立以边MN所在的直线为x轴，MN的中垂线为y轴的直角坐标系。

设抛物线顶点为P，则M（－2，0）、N（2，0）、P（0，4）

∴抛物线的解析式为：

    设点A（x，y），则AD=BC=2x，AB=CD=y

    ∴矩形ABCD的周长为

    函数

的自变量x的取值范围是－2<x<2,且x≠0

    若

=8，则x=2或x=0，矛盾，

    ∴

不可能取8。

 

【典型例题】

例1. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度

米，顶点

距水面

米（即

米），小孔顶点

距水面

米（即

米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度

．

解：设抛物线解析式为

，

依题意得，

．

，解得：

，

即

．

当

时，

，

解得

，

，

，

即水面宽度为

米．

 

例2. 如图，足球场上守门员在

处开出一高球，球从离地面1米的

处飞出（

在

轴上），运动员乙在距

点6米的

处发现球在自己头的正上方达到最高点

，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．

（2）足球第一次落地点

距守门员多少米？（取

）

（3）运动员乙要抢到第二个落点

，他应再向前跑多少米？（取

）

解：（1）如图，设第一次落地时，

抛物线的表达式为

由已知：当

时

即

表达式为

（或

）

（2）令

（舍去）．

足球第一次落地距守门员约13米．    

（3）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为

根据题意：

（即相当于将抛物线

向下平移了2个单位）

解得

    

（米）．     

解法二：令

解得

（舍），

点

坐标为（13，0）．  

设抛物线

为

  

将

点坐标代入得：

解得：

（舍去），

    

令

    

 

  例3. 如图，在平面直角坐标系

中，把矩形

绕点

顺时针旋转

角，得到矩形

．设

与

交于点

，且

，

（如图1）．

（1）当

时，

的形状是_____________；

（2）当

时，求直线

的解析式；

（3）当

时，（如图2）．请探究：经过点

，且以点

为顶点的抛物线，是否经过矩形

的对称中心

，并说明理由．

解：（1）等边三角形．

（2）设

，则

，依题意可得：

，

，

在

中，

，

即

，解得

．

．

设

，

把

，

代入

，得

解得

．

（3）抛物线顶点为

，

设

，把

代入得：

．

（或

）．

依题可得，点

坐标为

，

把

代入

，得

．

抛物线经过矩形

的对称中心

．

 

例4. 如图，在直角坐标系中，

为原点．点

在

轴的正半轴上，点

在

轴的正半轴上，

．二次函数

的图象经过点

，

，顶点为

．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）将

绕点

顺时针旋转

后，点

落到点

的位置．将上述二次函数图象沿

轴向上或向下平移后经过点

．请直接写出点

的坐标和平移后所得图象的函数解析式；

（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与

轴的交点为

，顶点为

．点

在平移后的二次函数图象上，且满足

的面积是

面积的

倍，求点

的坐标．

解：（1）由题意，点

的坐标为

，

，

，即

．

．

点

的坐标为

．

又

二次函数

的图象过点

，

．

解得

，

所求二次函数的解析式为

．

（2）由题意，可得点

的坐标为

，

所求二次函数解析式为

．

（3）由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移

个单位后所得的图象，那么对称轴直线

不变，且

．

点

在平移后所得二次函数图象上，设点

的坐标为

．

在

和

中，

，

边

上的高是边

上的高的

倍．

①当点

在对称轴的右侧时，

，得

，

点

的坐标为

；

②当点

在对称轴的左侧，同时在

轴的右侧时，

，得

，

点

的坐标为

；

③当点

在

轴的左侧时，

，又

，得

（舍去），

所求点

的坐标为

或

.

 

例5. 已知：

是方程

的两个实数根，且

，抛物线

的图像经过点A(

)、B(

).

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中抛物线与

轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥

轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标.

解：（1）解方程

，得

，

．

由

，有

，

．

所以点

，

的坐标分别为

，

．

将

，

的坐标分别代入

，

得

解这个方程组，得

所以抛物线的解析式为

．

（2）由

，令

，得

．

解这个方程，得

，

．

所以

点的坐标为

．

由顶点坐标公式计算，得点

．

过

作

轴的垂线交

轴于

，

则

，

，

．

所以

．

（3）设

点的坐标为

，

因为线段

过

，

两点，所以

所在的直线方程为

．

那么，

与直线

的交点坐标为

，

与抛物线

的交点坐标为

．

由题意，得①

，即

．

解这个方程，得

或

（舍去）．

②

，即

．

解这个方程，得

或

（舍去）．

点P的坐标为

或

．

数学(人新)二次函数与一元二次方程；实际问题与二次

一. 教学内容：

1. 二次函数与一元二次方程

2. 实际问题与二次函数

 

二、重点、难点：

二次函数解析式的确定和二次函数的应用

 

【典型例题】

抛物线的解析式有三种形式：

    ①一般式：

（a≠0）；

②顶点式：

，（h，k）是顶点坐标；

③交点式：

（a≠0），其中x₁，x₂是方程

的两个实根。

在实际应用中，需要根据题目的条件选择相应的形式以简化计算。

利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、列、求、定。

例1、已知二次函数图像顶点坐标为（－2，3），且过点（1，0），求此二次函数的解析式。（试用两种不同的方法）

分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点，可以选用顶点式。

解法一：

设二次函数的解析式为：

因为二次函数图像过点（1，0）

所以

所以

所以函数解析式为

。

分析：根据所给条件中顶点坐标可知，抛物线的对称轴为x＝－2，利用抛物线的对称性，可求得点（1，0）关于对称轴x＝－2的对称点（－5，0），可选用交点式。

解法二：

设二次函数的解析式为：

，

因为二次函数图像过点（－2，3）

所以

所以函数解析式为

。

点评：当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与x轴的交点时，一般选用交点式。但我们注意到，解法二是在知道抛物线与x轴的一个交点后，利用对称轴可从顶点坐标中得到，再利用抛物线的对称性获得另外一个与x轴的交点坐标，再利用交点式获得结果。两种方法各有千秋，仔细体会必定会有所收获。当然此题也可使用一般式，但不如这两种方法简单。

 

例2、已知二次函数

，当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。

分析：当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件。在本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标（－1，－4），另外一个条件是图像在x轴上截得的线段长，条件似乎不是特别充分。仔细分析，有“当x＝－1时有最小值－4”就知道对称轴，再有“图像在x轴上截得线段长为4”，利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为（－3，0），（1，0），从而可利用交点式解决问题。

解：∵当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4

∴函数图像与x轴交于（－3，0），（1，0）两点。

∴设二次函数的解析式为

∵二次函数过（－1，－4）

∴

∴a＝1

∴

    点评：本题当然还可直接使用顶点坐标公式转化为关于a，b，c的两个等式，再利用“图像在x轴上截得线段长为4”转化为

，组合成一个关于a，b，c的方程组来解。不过这种方法计算量大一些。

 

例3、如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C。

（1）用尺规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；

（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；

       （3）在（2）的条件下，求证直线CD是⊙M的切线。

解：（1）如图，点M即为所求。

       （2）由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而B（4，4）、C（6，2）。

       设经过点A、B、C的抛物线的解析式为

，      

依题意

，解得

，

所以经过点A、B、C的抛物线的解析式为

，    

把点D（7，0）的横坐标

代入上述解析式，

得：      

，

所以点D不在经过A、B、C的抛物线上。

    （3）如下图，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，作直线CD。

       所以CE＝2，ME＝4，ED＝1，MD＝5，

在Rt△CEM中，∠CEM＝90°，    

所以

，

在Rt△CED中，∠CED＝90°，

所以

，

所以

，    

所以∠MCD＝90°，  

因为MC为半径，      

所以直线CD是⊙M的切线。

点评：本题第（1）问是一个尺规作图题，需要确定圆心的位置；第（2）问中所给三个点的坐标不具有使用顶点式和交点式的特点，所以只能踏踏实实地利用一般式求解；第（3）问和圆的知识结合起来，求证直线与圆相切。要求熟练使用线段与坐标的相互转化，在证明线与线的垂直关系时还需要使用勾股定理的逆定理。

 

例4、已知抛物线

与

轴交于点

，与

轴分别交于

，

两点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点

为线段

的一个三等分点，求直线

的解析式；

（3）若一个动点

自

的中点

出发，先到达

轴上的某点（设为点

），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点

），最后运动到点

．求使点

运动的总路径最短的点

，点

的坐标，并求出这个最短总路径的长．

解：（1）根据题意，

，

所以

解得

所以抛物线解析式为

．

（2）依题意可得

的三等分点分别为

，

．

设直线

的解析式为

．

当点

的坐标为

时，直线

的解析式为

；

当点

的坐标为

时，直线

的解析式为

．

（3）如图，由题意，可得

．

点

关于

轴的对称点为

，

点

关于抛物线对称轴

的对称点为

．

连结

．

根据轴对称性及两点间线段最短可知，

的长就是所求点

运动的最短总路径的长．    5分

所以

与

轴的交点为所求

点，与直线

的交点为所求

点．

可求得直线

的解析式为

．

可得

点坐标为

，

点坐标为

．

由勾股定理可求出

．

所以点

运动的最短总路径

的长为

．

    点评：第（1）问是一个常规的求解析式的问题，比较简单；第（2）问如果注意到线段OA的三等分点有两个，从而判断直线DC有两条，利用待定系数法求出直线解析式，也不难；本题的难点是第（3）问，要求“最短总路径”需要具有扎实的基本功和分析、理解、转化问题的能力。

 

例5、已知二次函数的图象如图1所示，抛物线与x轴、y轴分别交于点A（－1，0）、B（2，0）、C（0，－2）．

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．

（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段MB上运动时（点N不与点B、点M重合），设OQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围．

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

图1

解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－2），

∴－2＝a×1×（－2），

∴a＝1，

∴y＝x²－x－2；

其顶点M的坐标是（

）．

（2）设线段BM所在直线的解析式为y＝kx＋b，点N的坐标为N（t，  h）， 

∴

解得：k＝

，b＝－3，

∴线段BM所在的直线的解析式为y＝

x－3

∴h＝

t－3，

∵－2<h<0，

∴－2<

t－3<0，即

<t<2

∴S＝S_△AOC＋S_梯形OCNQ＝

×1×2＋

（2＋∣

∣）t＝

．

∴s与t间的函数关系式为s＝

．自变量t的取值范围为

<t<2．

（3）存在符合条件的点P，且坐标是P₁（

），P₂（

）．理由如下：

设点P的坐标为P（m，  n），则n＝m²－m－2．PA²＝（m＋1）²＋n²，  PC²＝m²＋（n＋2）²，  AC²＝5．

分以下几种情况讨论：

若∠PAC＝90°，则PC²＝PA²＋AC²．

∴

解得：m₁＝

，  m₂＝－1（舍去）

∴P₁（

）．

若∠PCA＝90°，则PA²＝PC²＋AC²．

∴

解得：m₃＝

，  m₄＝0（舍去）

∴P₂（

）

由图像观察得，当点P在对称轴右侧时，PA>AC，所以边AC的对角∠APC不可能为直角．

（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，如图2，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2）。

以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图3，此时未知顶点坐标是E（－

）

 

 

，F（

）．

易证△AEO∽△OFC，

∴

，又AC＝

， 

设OE＝a，  则OF＝

－a，  AE＝

，

由勾股定理得：（

）²＋a²＝1，

∴a＝

．

∴OE＝

，

再设点E的坐标为（x，  y），由射影定理得:x＝－

，  y＝

，

∴此时未知顶点坐标是E（－

）；同理可求得点F的坐标为（

）．

 

【典型例题】

例1、已知：函数

是二次函数．

（1）求函数解析式；

解：根据二次函数的定义，有

由（2）解得m＝3，m＝－1．由（1）知，m≠3．

所以m＝－1．

所以函数解析式为y＝－4x²．

答案：函数解析式为y＝－4x²．

（2）写出开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出草图；

答案：因为a＝－4＜0，所以开口向下；

对称轴是y轴；

顶点坐标为（0，0）；

函数图像如图，

（3）x为何值时，y随x的增大而增大？x为何值时，y随x的增大而减小？

答案：当x＜0时，y随x的增大而增大；

当x＞0时，y随x的增大而减小．

 

例2、将抛物线

如何平移可得到抛物线

（    ）

A. 向左平移4个单位，再向上平移1个单位

B. 向左平移4个单位，再向下平移1个单位

C. 向右平移4个单位，再向上平移1个单位

D. 向右平移4个单位，再向下平移1个单位

答案：向右平移4个单位，再向下平移1个单位．因此选D．

 

例3、二次函数

图像的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（  ）

A. 开口向下、对称轴为

、顶点坐标（2，9）

B. 开口向下、对称轴为

， 顶点坐标（2，9）

C. 开口向上，对称轴为

，顶点坐标（－2，9）

D. 开口向上，对称轴为

， 顶点坐标（－2，－9）

答案：B．

 

例4、已知二次函数

（1）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值；

分析：用配方法或公式法都可迅速得到这三个结果．求一个二次函数的顶点坐标，对称轴和最值要熟练掌握．

    答案：顶点坐标（－2，－4.5），

对称轴：直线x＝－2；

因为二次项系数大于0，所以函数有最小值－4.5．

（2）求出抛物线与x轴、y轴交点坐标；

    解：令y＝0，则

，解得x＝－5，x＝1．

    所以抛物线与x轴的交点坐标为（－5，0），（1，0）．

令x＝0，则y＝

．

所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，

）

    点评：要熟练掌握抛物线与x轴、y轴的交点坐标的求法．

（3）作出函数图象，并观察图象，x为何值时，y>0；x为何值时，y<0；x为何值时，y＝0．

    分析：画函数图象是一项非常重要的基本功．画示意图时，需要充分利用二次函数的对称性．

    答案：如图．

利用函数图像，可以得到当x＞1或x＜－5时，y>0；

当－5＜x＜1时，y<0；

当x＝－5，x＝1时，y＝0．

 

例5、已知：抛物线

．

    （1）求证：此抛物线与x轴一定有两个交点；

    分析：判断抛物线与x轴的交点问题，常通过计算判别式来作出判断．

答案：因为△＝2²－4×（－8）＝36＞0，所以抛物线与x轴有两个交点．

    （2）若此抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为C，求△ABC的面积．

分析：要求△ABC的面积，可先确定线段AB的长度，然后以AB为底，以顶点C的纵坐标的绝对值作为AB边上的高，利用面积公式求出．在这里，有一个数形结合的问题，要注意坐标与线段的相互转化．

答案：因为A、B两点的坐标分别为（－4，0），（2，0），所以AB＝6．

顶点坐标为（－1，－9）．

所以S_△ABC＝

＝27．

 

例6、二次函数y＝ax²＋bx＋c与一次函数y＝ax＋c在同一坐标系中的图象大致是（　　）

A            B           C             D

    答案：D

 

例7、（1）二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象如图所示，那么abc，b²－4ac，2a＋b，a＋b＋c 这四个代数式中，值为正数的有（    ）

    A. 4个      B. 3个       C. 2个      D. 1个

答案：A

（2）如图，二次函数

的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0），且与

轴相交于负半轴.

（1）给出四个结论：①

；②

；③

；

④

.其中正确结论的序号是         ；

答案：①④

（2）给出四个结论：①

；②

；③

；

④

.其中正确结论的序号是          ．

答案：②③④

 

例8、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB上（不与A、B重合），分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，得四边形DECF，设DE＝x，DF＝y.

（1）用含y的代数式表示AE，得AE＝________.

（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围.

（3）设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值.

解：（1）AE＝8－y

    （2）∵∠C＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC

∴四边形DECF是矩形．

∴DF＝EC，DE∥BC

∴△ ADE∽△ABC

∴

∵DE＝x，BC＝4，AC＝8，AE＝8－y

∴

∴y＝8－2x，（0＜x＜4. ）

（3）∵四边形DECF是矩形，

∴S＝DE×DF＝xy＝x（8－2x）＝－2x²＋8x.

∵a＝－2＜0，

∴当x＝2时，S_最大＝8．

 

例9、如图，已知抛物线L₁: y＝x²－4的图像与x轴交于A、C两点，

（1）若抛物线l₂与l₁关于x轴对称，求l₂的解析式；

（2）若点B是抛物线l₁上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点一定为D，求证：点D在l₂上；

（3）探索：当点B分别位于l₁在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．

分析：（1）问中求l₂的解析式要充分应用l₂与l₁关于x轴对称这一特点．（2）问中验证点在函数图像上，在综合题中很常见，是必须要掌握的基本方法．（3）问是一个开放性的问题，需要比较扎实的基本功和一定的处理最值问题的技巧．

解：（1）设l₂的解析式为y＝a（x－h）²＋k

∵l₁与x轴的交点为A（－2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，－4），l₁与l₂关于x轴对称，

    ∴l₂过A（－2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4）

    ∴y＝ax²＋4

    ∴0＝4a＋4   得 a＝－1

   ∴l₂的解析式为y＝－x²＋4

（2）设B（x₁ ，y₁）

    ∵点B在l₁上

    ∴B（x₁ ，x₁²－4）

    ∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称

    ∴B、D关于O对称

    ∴D（－x₁ ，－x₁²+4）.

    将D（－x₁ ，－x₁²+4）的坐标代入l₂：y＝－x²+4

    ∴左边＝右边

    ∴点D在l₂上.

（3）设平行四边形ABCD的面积为S，则

    S＝2×S_△ABC ＝AC×|y₁|＝4|y₁|

    a.当点B在x轴上方时，y₁＞0

    ∴S＝4y₁ ，它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而增大，

    ∴S既无最大值也无最小值

    b. 当点B在x轴下方时，－4≤y₁＜0

    ∴S＝－4y₁ ，它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而减小，

    ∴当y₁ ＝－4时，S有最大值16，但它没有最小值

    此时B（0，－4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上.

    ∴AC⊥BD

    ∴平行四边形ABCD是菱形

    此时S_最大＝16.

    点评：这是一道很有意思的题．（1）问一般的同学都会很快得出答案，但要写出解题过程，部分同学就会感到困难．（2）问比较常见，但需要将B点坐标利用B、D关于原点对称转化为D点坐标，这是一个比较重要的技巧，需要熟练掌握．（3）问中处理最值问题的手段值得借鉴，认真反思，应该有许多收获．