平行线分线段成比例定理及其应用

引  言

      在之前的探究中，我们系统地研究了三角形一边的平行线的性质定理、推论及其判定定理，若再增加一条平行线，那么截得的线段是否仍旧对应成比例？

对于这个命题的证明主要有以下五种方法，其本质都是围绕着构造或利用图形中的“A型”或“X型”基本图形，借助比例线段，达成线段间的转化。

证明解析

对于这个问题可以采取两种路径进行解决，一种是添加平行线，通过构造“A型”或“X型”基本图形达成线段转化的目的；一种是不添加平行线，通过利用图中的两组A型基本图形，寻找“中间比”构建比例关系。

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借助“中间比”助力线段转化

如图，图中共有两组A型基本图形，分别是DE-FG-A型和FG-BC-A型图。这两组A型图中都有“中间比”——AF:AG，以此进行线段的转化。

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添加辅助线构造基本图形，进行线段转化

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通过添加平行线构造基本图形，主要有以下添线的方法：

问题推广

若将问题一般化，即将线段AB、AC、BC改为三条直线，那么原先的结论是否仍旧成立呢？

将问题分为下图两种情况讨论，一种是AC//AB的情况，还有一种是AC不平行AB的情况:

①当AB不平行AC时，按照上述问题的探究过程，仍旧有以下四种辅助线的添线方法，可以证明DF:BF=EG:CG.

②当AB//AC时，由于四边形DFGE、DBCE、FBCG为平行四边形，因此DF=EG，BF=CG，仍旧满足DF:BF=EG:CG.‍‍

若将DB进行平移，又可以得到以下三种情况，由此得到了平行线分线段成比例定理。

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平行线分线段成比例定理

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平行线等分线段成比例定理

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平行线分线段成比例的逆命题是真命题么？即如果两条直线被三条直线所截，截得的对应线段成比例，则这三条直线平行。该命题是假命题，可以通过举反例进行说明。

简单应用

解法分析：‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍本题是‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍平行线分线段成比例的简单应用。在解决此类问题时要找准其中的平行线和比例线段，列出比例关系。

解法分析：本题是平行线分线段成比例的简单应用。和前一道题题不同的是除了知道分线段的比例关系外，还给出了两段平行线段的长度，求第三条平行线段的长度。对于这类问题，需要再添一条平行线，将原来的图形变为一个A型图和一组平行四边形图，以此转化问题。‍

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A/X混合模型

解法分析：本题是典型的A/X混合型的的几何证明问题。在解决此类问题时关键要转准“中间比”，搭建桥梁，进行线段间的转化。

解法分析：本题是前面一个问题的变式。去除了过点O的平行线，要证明DE和BC平行，就需要一组比例线段进行证明，即证明AE:BE=AD:CD或证明DO:BO=EO:CO，但仅根据M为中点这一条件无法证明，因此需要添加辅助线构造新的基本图形，再利用“中间比”进行转化。‍

合理添加平行线证明比例关系

解法分析：本题是三角形一边的平行线合重心问题相关的几何证明问题。本题的第(1)问借助现成的平行线和重心的性质即可进行证明。

本题的第(2)问是更一般的情况，由于图中没有现成的平行线，因此难以构建线段间的比例关系，因此如何合理添加辅助线就成了问题解决的关键。辅助线的添线意图都是寻找BE:AE和CF:AF的中间比，借助D为BC中点，进行转化。共有以下三种辅助线的添线方法作为参考：‍‍

章节小结