四边形中与比例线段相关的几何证明

问题背景

2020上海中考23题的背景是菱形，主要考察了相似三角形的判定，三角形一边的平行线以及比例线段的相关性质。

本题的第(1)问涉及相似三角形的判定，这两个三角形有一个公共角，因此还需要再找一组等角或者去证明夹边对应成比例。本题的解决路径是在于先证明▲CDF和▲CBE全等，利用全等三角形对应角相等，以及平行线间内错角相等两条性质进行证明。

本题的第(2)问涉及比例线段的转化，由于已知条件中的AE、BE、AB在同一直线上，而ABCD为菱形，因此可以将AE:BE转化到AG-BC-X型基本图形中，得AE:BE=AG:BC，结合已知，可知AG=BE，再结合第(1)问中的全等三角形，可得AG=DF。

基本模型

模型变式：线束模型

模型变式：A/X混合模型

基本题型

如下图所示，是比较典型的A/X型基本图形在四边形中的应用。由于证明的结论中AF、EF、FG在同一直线上，而图中又有较多的X型基本图形，因此寻找出两组比例线段中的“中间线段比”进行转化。

同样在梯形背景下，这种方法仍旧适用：

此类问题的特点是有2组平行线，并且建立的比例线段间有公共的“中间比”，最后将线段进行转换。在几何证明中，如果出现了三条线段间的比例关系在同一直线上时，同时图形中出现了2组X型基本图形，就可以借助上例中的方法进行解决。

A/X混合模型的应用

如下图所示，需要求在同一直线上的三条线段的比值。由于图中有一组A型基本图形和1组X型基本图形，并且出现了中点，因此实现了线段间的转化。

在菱形背景下，本题的第(2)问仍旧是延用A/X型模型，在本问中，比较容易忽略的是BM-AD-X型，这也是在特殊四边形中比较容易忽视的一组X型，在2020年上海中考23题中也是这样“斜着”的X型，发现复杂图形中的基本图形是问题解决的关键所在。

在在菱形背景下，本题的第(2)中，根据图中的2组平行线，可以得到2组基本图形(A型和X型)，结合第(1)问中的全等三角形(BG=DF)求出DF的长度。

此类问题的特点是有2组平行线，并且题目背景中有特殊背景(如线段相等或中点等)，最后将线段进行转换。通过发现题目中隐含的A/X型基本图形，借助相等线段或中点达成线段间的转化。

线束模型的应用

如下图所示，是比较典型的线束模型，题目中的已知条件BE、CE、BC在一条直线上，由基本题型带来的联想，延长AE、DC交于点P。三次运用X型基本图形，得到CP=BE，最后求出∠CBF的正切值，这也是线束模型的典型应用。

解法分析：如图，本题的第(1)(2)问比较简单，第(1)题利用相似三角形判定定理1即可证明两三角形相似，而∠EFD的正切值就是两个相似三角形对应斜边的比；本题的第(2)问是函数关系的建立，利用CH-BE-A型图即可建立函数关系，唯一需要求解的就是CF的长度，利用第(1)问的相似三角形的对应线段的比可以求得，以上两问可以点击图片跳转阅读。

本题的第(3)问采用的添线方法是延长BG交CD于点P，运用图中丰富的线束模型构造线段间的比例关系。

此类问题的特点是要能够在复杂图形中筛选出线束模型，从而灵活运用线段间的比例关系。