2023年11月各区县期中考试压轴题解析(一):相似三角形的存在性问题

相似三角形的存在性问题解题策略

处理相似三角形存在性问题时，一般可遵循以下思路：           

  第一步：确定对应关系

  对于需要讨论的两个三角形，常常可以从发现一组同角（等角）入手，继而进一步挖掘条件或分类讨论，确定对应关系.

  第二步：解得未知量

  ①代数方法：通过对应关系列出比例式，用未知数和常数表示比例式中的每条边，通过列方程求解.根据定理“两边对应成比例且夹角相等，则两个三角形相似”，围绕着已证明等角的夹边列比例式比较简单.如图1：若△ABC∽△DEF，且满足∠A=∠D，

此时从边的角度进行分类，则有AB:AC=DE:DF或AB:AC=DF:DE.

   ②几何方法：通过对应关系确定对应角，通过角之间的等量关系发现新的等腰或相似三角形，建立数量关系，从而得以求解。如图1：若△ABC∽△DEF，此时从角的角度进行分类，则有∠B=∠E或∠B=∠F.

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闵行25题解法分析

解法分析：本题是矩形背景下，借助角平分线的性质定理，锐角三角比的性质进行问题求解的。

本题的第1问是EF⊥AD的特殊背景，此时可以得到△AFE和△DFE是全等的，从而得到点F为AD的中点，继而利用三角形一边的平行线的性质定理求出EF的长度。

本题的第2问是相似三角形的存在性问题，问题解决的关键路径在于寻找等角，即∠AGF=∠C=90°，由于∠AGF的夹边难以用字母表示，因此选用几何方法进行求解。借助平行线的性质定理、等腰三角形的性质定理助力问题解决。

本题的第3问是三角形的面积问题。问题的突破点在于利用角平分线的性质定理，即过点F向DE作垂线，化简得到DE=2GE，继而得到△FED为等腰三角形，即FE=FD，同时可以得到∠AED=∠AFE。

从而利用相似三角形的性质定理或者解三角形求得BE的长度。这里与解三角形相关的知识点在于“做高法”和“构造倍角法”。

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杨浦25题解法分析

解法分析：本题是底角为30°等腰三角形背景下，借助相似三角形的性质定理助力问题解决的压轴题。

本题的第1问是AF⊥BC的特殊背景，本题的切入点较多，只需要灵活运用30°角的三角比以及发现其中的等腰三角形就能求出线段CE的长度。同时也可利用图中的相似三角形求线段的长度。

本题的第2问是线段间函数关系的建立，只需要利用图中的相似三角形，即△ABE和△ACD，以及AC-BF-X型基本图形就能建立线段间的函数关系。同时，注意到点D不与点B重合，因此限定了定义域取等的条件。

本题的第3问是相似三角形的存在性问题，问题解决的关键路径在于寻找等角，即∠ADB=∠CDF，仍旧是从几何的角度切入进行讨论。

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