二次函数中与“代数推理”相关的问题

引子

2023上海中考24题相较于历年的中考而言，更侧重于代数推理，这也是命题的新方向。

近半年来出了以下两篇推文是与代数推理相关的，第一篇推文侧重总结了2024一模中的新题型以及各区中与代数推理相关的问题；第二篇推文则侧重体现了与二次函数中“根与系数关系”以及“二次函数最值”相关的问题。

而本篇推文则侧重体现了利用函数图像研究函数性质、利用性质图像求解函数表达式中字母系数的不等关系和利用二次函数的对称性求参数范围这三类问题。这些题目的选题来源于2023全国卷中的典型问题。

利用函数图像研究函数性质

“利用函数图形研究函数性质”是沪教版九年级上阅读材料的一则内容，通过类比之前函数学习的经验，即通过观察函数图像，从图像是否有间断、是否向某一个或几个方向不断伸展，是否与x轴、y轴相交，是否关于某一直线或者某一点对称，是否有最高点或最低点；沿着x轴的正方向看，图像上是否有上升、下降的变化，如有升降还要看哪几段上升、哪几段下降、在哪里转折等。由此归纳出图像得一些特征，从中得到有关这个函数性质的信息。

表1 研究函数的一般方法

表1呈现了研究函数性质的一般方法，当面对陌生的函数时，我们可以借助列表描点法，画出函数的大致图像研究其性质，同时也可以根据解析式的特征判断其是否通过我们熟悉的函数平移而来。

情境1：借助平移法分析未知函数的性质

解法分析：根据函数  是由函数  左右平移而来，即可通过类比函数  的图像性质推出函数  的图像性质。本题的难点在于第(3)题中通过观察函数图像得出不等式的解集。

情境2：借助描点法画出函数图像分析性质

解法分析：本题的难点在与如何合理取点画出函数的大致图像。通过观察解析式可知该新函数的定义域为x≠0，而  的图像在x>0和x≤0时的变化趋势是不同，因此在取点时需要考虑x>0和x<0时两个范围。

同时发现当x>0时，在x=1处取得函数的最小值，即最低点。而在0<x<1和x>1时的变化趋势不同；当x<0时，随着x越来越小，函数值越来大，结合理性分析，再借助列表描点的方法可以大致确定函数图像，继而分析其性质。

情境3：利用新定义确定函数解析式和性质

解法分析：根据定义可以较快地解决第(1)和第(2)问，本题的第三问可以通过描点法画出伴随函数的图像。本题的难点在于如何求出△AOB的面积，观察到函数  是经过定点(3,0)的，同时可以通过联立两个函数的解析式求出交点坐标，继而采用“水平分割”的方式求出三角形的面积。

利用函数性质求解函数表达式中字母系数的不等关系

如何利用函数的图像或者经过的某几个点确定函数表达式中字母系数的不等关系呢？以下几个问题的解决呈现了函数中根与系数间的关系：

表2 根与系数的关系举例

表2呈现了根与系数间的等量关系和不等关系，对于题目中所求系数的不等关系可以通过变形基础等式(不等式)得到。

问题1：利用根与系数关系确定字母系数的取值范围

解法分析：根据根与系数的关系可以确定选项①②③；问题④的解决策略在于将不等号两边的代数式看作两个函数，利用函数图像解出不等式的解集，同时需要观察出函数  的图像经过点(2,0)和(0,c)。

问题2：利用根与系数关系确定函数的最值

解法分析：本题的难点在于根据自变量的取值范围确定函数的最值。解决此类问题的办法在于根据对称轴的位置进行确定。问题②中对称轴落在范围中，由于抛物线开口向下，因此在对称轴处取得最大值，通过比较f(3)和f(-1)的大小确定最小值；第(2)问则需要讨论对称轴  在0的左侧或右侧，从而确定最值。

利用二次函数对称性确定参数范围

二次函数的对称性利用非常广泛，除了根据图像上两点纵坐标相同确定对称轴外，也可以根据点到对称轴的距离判断函数值的大小关系。此类问题非常灵活，难度相应也较大。

表3 利用对称性判断函数值的大小关系

问题1：利用点到对称轴的距离大小判断函数值的大小

解法分析：本题的第①②④可以利用第二类问题解决，问题③则根据-3和3到对称轴的距离大小判断函数值的大小。

解法分析：本题的解题策略和上题相仿。

解法分析：本题的难点1在于先要判断点A和点B到底哪个点在对称轴的左侧，可以根据点的横坐标和对称轴的不等关系进行判断；难点2在于能够联想到函数值不等关系的解决在于判断点到对称轴的距离大小。

解法分析：本题的第(2)问根据已知两点确定对称轴为直线x=m，根据点A和(0,3)关于对称轴对称，得到  ，继而根据m的取值范围确定点n的取值范围；第(3)问将已知两点代入再结合对称轴为直线x=m，通过消去点m得到a和b的数量关系。

问题2：综合利用根与系数关系和对称性解决问题

解法分析：对于本题的第(2)问，首先需要发现对称轴为直线x=1，根据对称性可知m=p，若m,n,p中只有一个是正数则只可能是n为正数，再根据抛物线过(0,1)和(2,1)将抛物线的表达式转化为只含有a，根据n>0,m<0，解关于a的不等式即可。

解法分析：对于本题的第(2)问，可知点(X0,m)和(1,m)是关于对称轴对称的，可以用含t的代数式表示X0，且X0>1，由此得到第一个不等关系；根据m<n，可以得到a和b的不等关系，继而通过变形得到  的范围，继而得到第二个不等关系，由此确定t和x0的取值范围。

解法分析：对于本题的第(2)问，根据y1<y2，要能联想到x1和x2的中点是在对称轴右侧的，继而列出不等关系。

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