圆锥曲线专题解析2：焦点三角形问题
Ø方法导读
解析几何是高中数学的重要内容,在高考命题中,重视考查数学运算和形的探究两个方面的内容.三角形是最重要的基本图形,常常出现在与圆锥曲线相关的问题中,沟通数与形,体现图形探究,因此要特别重视特殊三角形(直角三角形、等腰三角形)及其几何性质的代数表达.具体而言,圆锥曲线中有三类与圆锥曲线定义、几何特征量以及对称中心有关的三角形,我们将其称为“焦点三角形”、“特征量三角形”、“中心三角形”.在高考考查中,客观题重点关注焦点三角形与特征量三角形的几何性质,而主观题突出中心三角形的解析化途径的探究与选择.下面我们就来研究高考中焦点三角形的问题.
Ø高考真题
【卷·理
/文】已知椭圆的焦点为,,过的直线与交于,两点,若,,则的方程为( )
A. B.
C. D.
Ø解题策略
有心圆锥曲线上一点与两焦点组成的三角形成为焦点三角形.焦点三角形有着丰富的几何性质,高考中关于焦点三角形的有关问题,要能通过数量关系,在定义的基础上充分挖掘其几何特征.剩下的工作就是基于几何关系获取坐标关系或者通过解三角形来解决问题.因此要善于根据题设方程,数量关系等挖掘隐含的几何特征,并进行图形探究.
Ø解题过程
方法一:设,则,.
由椭圆的定义得,,解得x=a/2,
从而(为椭圆的上顶点).
如图,根据相似比得,,,则,
代入方程,得,
解得,故,故选B.
方法二:设,则,.
由椭圆的定义,,解得x=a/2,
从而(为椭圆上的顶点),,
即△为等腰三角形,
所以,
解得,故选B.
Ø解题分析
如果能够积累一些图形特征的结论则更加方便.
比如本题其实还可以基于定义来探讨椭圆焦半径以及周长表达式.
①△的周长为;
②已知,是椭圆的左右焦点,为椭圆上一动点,则椭圆焦半径公式:,这个可以由第一定义获得.
证明如下:
设,则,
而,,
则,从而,.
Ø拓展推广
借助焦点三角形来来考察圆锥曲线的离心率的问题也是重点.求有心圆锥曲线的离心率必须建立起,,的关系式或者求出,的值.如果强化了角的度量,可以考虑通过角的度量来切入,构建角与离心率之间的关系,以椭圆为例,的左、右焦点分别为,,是椭圆上的点,,,.
则在焦点三角形中,由正弦定理不难得到,根据椭圆定义以及等比性质有,,这即构造了离心率与焦点三角形三个角之间的等量关系.
类似地,对于双曲线,有.
高考命题中往往会基于圆锥曲线离心率与焦点三角形中角的关系模型来设计相关考题.
变式训练1
【2019·浙江卷·】已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方,若线段的中点在以原点O为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是__________.
变式训练2
【2019·全国卷·文/理】设,为椭圆:的两个焦点,为椭圆上一点且在第一象限.若△为等腰三角形,则点的坐标为__________.
变式训练3
【.全国卷文】已知,是椭圆的两个焦点,是椭圆上的一点,若,且,则的离线率为( )
A B C D
变式训练4
【·全国卷理·】已知,是双曲线:的左,右焦点,点在双曲线上,MF1与轴垂直,,则的离心率为( )
A B C D
变式训练5
【·山东卷·文/理】已知双曲线:,,若矩形的四个顶点都在上,,的中点为双曲线的两个焦点,且,则的离心率是__________.
答案
变式训练1
方法一:由题意可知,由中位线定理可得,设,可得
方法二:(焦半径公式应用)即,故,
求得,所以.
变式训练2
方法一:由已知可得,,
所以,即,
所以,
又,
所以(由焦半径公式),所以,
于是,解得,
所以点的坐标为.
方法二:设,,,
椭圆:的,,,,
由于为上一点且在第一象限,可得,
△为等腰三角形,
可能或,
即有,即,;
可得.
变式训练3
D
由题设知,,,
所以,.
由椭圆的定义得,即,
所以,
故椭圆的离心率.故选D.
变式训练4
A
方法一:设,将
得,化简得,
因为,
所以
整理得,解得.
方法二:.
变式训练5
方法一:由题意知,,又
∴,即,
∴,两边同除以并整理得:
,解得(负值舍去).
方法二:根据题意有焦点三角形为直角三角形,且,
所以.
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