求解圆锥曲线离心率的常用方法

离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。

一、根据离心率的范围，估算e

利用圆锥曲线的离心率的范围来解题，有时可利用椭圆的离心率e∈（0，1），双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1来解决。

例1. 设

，则二次曲线

的离心率的取值范围为（ ）

A. 

B. 

C. 

D. （

）

解：由

，知

，

故所给的二次曲线是双曲线，由双曲线的离心率e>1，排除A、B、C，故选D。

二、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式

来解决。

例2. 已知双曲线

的一条准线与抛物线

的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）

A. 

B. 

C. 

D. 

解：抛物线

的准线是

，

即双曲线的右准线

，

则

，解得

，

故选D。

例3. 点P（-3，1）在椭圆

的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线

反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）

A. 

B. 

C. 

D. 

解：由题意知，入射光线为

，

关于

的反射光线（对称关系）为

则

 解得

则

。故选A。

三、构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

例4. 已知F₁、F₂是双曲线

的两焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 

B. 

C. 

D. 

解：如图，设MF₁的中点为P，则P的横坐标为

。

由焦半径公式

，

即

，得

，

解得

，故选D。

练习：

1. 过双曲线

的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点A，则双曲线的离心率等于_______。

（答案：2）

2. 设椭圆的两个焦点分别为F₁、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

（答案：

）