42：巧借东风 - 定值问题
(2020山东)已知椭圆:的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)点,在上,且,,为垂足.证明:存在定点,使得为定值.
解：(1)由题意得,,,解得,.所以椭圆的方程为.
(2)法一(设直线的方程)
设,
若直线与轴不垂直,设直线的方程为,代入得.于是,.①
由得,可得
,将①代入可得
即.
因为不在直线上,所以,故且.
即.于是直线的方程为.
所以直线过定点.
若直线与轴垂直,可得,
由,又,解得.
即直线的方程为,过点.
令为的中点,即.若与不重合,则由得
;若与重合,则.
综上,存在点,使得为定值.
法二(设直线的斜率为)
设,,
若直线与坐标轴不平行,设直线的方程为,代入,
得,于是,
所以,代入得,
即,同理可得.
所以直线的方程为
即,由,得,
故直线过定点.
令为的中点,即.若与不重合,则由得
;若与重合,则.
综上,存在点,使得为定值.综上,存在点,使得为定值.
法三(曲线系方程求解)
若直线不与坐标轴平行,直线与轴不垂直,,
则设直线的方程为,即,
直线的方程为,即,
直线的方程为,即,所以过,,三点的曲线系方程为,①
易得过点与椭圆相切的直线方程为,所以过,,三点的曲线系方程为,②
展开等式①②,对比各项系数可得,
故直线的方程为,易得过定点.
令为的中点,即.若与不重合,则由得
;若与重合,则.
综上,存在点,使得为定值.
圆锥曲线中定值问题实质上是探究动态的圆锥曲线中的不变性,并且常与轨迹问题、
曲线系问题等相结合,深入考查直线和圆锥曲线位置关系等相关知识.常要用到数形结合、分类讨论、化归与转化、函数与方程等数学思想方法.
1.圆锥曲线中定值问题的常见题型及解题策略
(1)求某线段长度为定值,利用长度公式将要探求的线段表示出来,然后利用题中的
条件(如直线与曲线相交等),对表达式进行化简、变形即可求得.
(2)求代数式为定值,依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,
化简即可得出定值.
(3)求点到直线的距离为定值,利用点到直线的距离公式得到距离的解析式,再利用
题设条件化简、变形求得.
2.求解定值问题常用的方法
(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
圆锥曲线中常见定值
(1)若线段是过抛物线:焦点的任意一条弦,则为定值.
(2)若线段是过椭圆:焦点的任意一条弦,则为定值.
(3)若线段是过双曲线:焦点的任意一条弦,则为定值.
(4)若是椭圆(或双曲线)上任一点,是过中心的任意一条弦,且直线,的斜率都存在,则直线,的斜率之积为定值(或).
1.(2020山西运城一模)已知椭圆:的长轴长为4,离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设,分别为椭圆与轴正半轴和轴正半轴的交点,是椭圆上在第一象限的一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,问与面积之差是不是定值?请说明理由.
2.(2018北京)已知抛物线:经过点.过点的直线与抛物线有两个不同的交点,,且直线交轴于点,直线交轴于.
(1)求直线的斜率的取值范围;
(2)设为原点,,,求证:为定值.
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