数列教学的观点再思考
摘要:新教材人教 A 版必修 3 第二章,从章引言到每一节的内容再到课后的习题都反复在渗透数列教学的一个观点:即从函数的观点看数列。从更为普遍性哲学观点上来看,要解决好函数和数列的关系,就是要解决好一般和特殊的关系。以“数列和函数的关系作为载体”、站在“特殊和一般”的哲学高度来思考提出数列的教学新的思考,提供了新的观点。本文用具体的实例说明以下三个观点:一是从一般到特殊为特殊提供了研究的大体思路;二是要真正实现从一般到特殊,要充分注意到其特殊性,在“一般”的指引之下,得到属于“特殊”的结论;三是反过来“从离散到连续”、“从不规则的整体到近似规则部分的分割”是数列作为特殊的函数的启示。
关键词:一般,特殊,函数,数列,递推关系式,对应关系
我们可以把函数和数列的关系抽象为更一般的关系,即“一般”与“特殊”的关系,其实这一章,我们可以以数列作为载体,让学生思考如何去处理“一般”与“特殊”的关系。
一、一般为特殊提供了研究的大致方向
从函数的观点看数列,其实就是从“一般”去看“特殊”,这为我们的研究提供了大致的方向,比如我们研究函数的单调性、最值和图像,那么在数列中,我们同样也可以研究数列的单调性、最值和图像。我们通过近几年的高考题,来感受一下:二、充分注意特殊性,在“一般”的指引之下得到属于“特殊”的结论
(一)数列通项公式的独特判断方法
(二)数列递推关系的独特意义
数列是一种特殊的函数,对于函数三要素来说,其最重要的就是对应关系,其实这也启发我们要充分关注数列的通项公式,其实我们通过大量的运用看到,无论是研究数列本身还是研究前 n 项和,都是紧紧围绕通项公式来思考。数列作为一个特殊的函数,这种特殊性反映在图像上是一些离散的点,我们可以通过点与点之间的关系来找对应关系,即数列的递推关系来找数列的通项公式。所以对于数列来说,通项公式有着特别的意义。教材必修 5 第 31 页告诉我们递推公式也是数列的一种表示方法,例 3 和教材第 34 页 B 组题目 3 题就是通过递推关系式去找数列的一些项,第 59 页,通过阅读与思考——九连环向我们展示了从数列的递推关系去求数列的通项公式。于是我们可以把数列通项公式的求法归结为:高考都会涉及递推关系式,而其错误在于把“递推关系式”这个重要的东西作为一个结果直接呈现给学生,让学生只经历了第二个过程,对于我们更多的学生,从看似无序的数字中,找到有序性,找到规律性,其意义比第二个过程意义大得多,由此看到数列也是承载观察力非常好的载体,必修 5 教材习题 2.1 有超过半数的题目都是在考察学生观察能力。我们也可以换一种思路,把递推关系作为一个结果,让学生经历递推关系式的探究过程,如果还要求通项公式,应该尽可能让这个跨越变得简单。比如:
三、“从离散到连续”、“从不规则的整体到近似规则部分的分割”是数列作为特殊的函数的启示
我们通过对数列特殊性的解读,真正实现了从一般到特殊的跨越,那反过来,特殊性会不会对一般性问题的解决提供思路呢?答案是肯定的,它向我们提供了如何从不离散到连续的过渡,比如必修1中是先描出散点图,再来拟合函数图像,必修3中也是描出两个变量的关系中离散的点,再用最小二乘法去求回归方程,它还向我们提供了把一个不规则的整体分割成近似规则的各部分,教材必修3第57页例3就是这一精彩思想的展现。------------------------------------
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