构建有效的数学课堂
无论教学改到哪里，“有效的课堂”是教师永恒的追求。所谓“有效”，是指教学用最少的时间促使学生获得最大的进步与发展。教学心理学研究表明：教学效果的好坏与教师的教学行为相关。“有效的教学，首先取决于对课堂上应做什么作出正确的决定；其次取决于如何实现这些决定。”这显然涉及教学的预设与实施两个方面。
一、预设：构建有效数学课堂的基石
教学是一种有目标、有计划的活动，教学的运行需要有效的预设。没有预设的教学，只能成为一种信马由缰的活动，是不会产生什么效果的。传统的教学预设过分关注精细的提问，预定标准答案，写下教师上课要讲的每一句话，准确计算好一节课不同环节的时间分配等。课堂上，见书不见人，教学成为忠诚地实施教案的过程。这样的预设，不仅不能促进学生的发展，反而成为学生发展的阻力。数学课程标准强调教学的互动生成，互动生成的前提是以学定教。以学定教的教学预设，在课前是一个开放的多种教学预案设计的总和的“弹性方案”， 在课中是一个结合学生表现选择预案、随即产生方案的弹性的、动态的形成过程。较之传统教学预设来说，这种预设应当线条要粗得多，留下了较多的不确定性、可变换的弹性目标、空间和时间。
（一）组织素材
数学学习素材是数学知识和数学问题的基本载体，是小学生感受数学与生活的密切联系、体验数学价值、形成正确数学观的重要资源。素材的选择不仅关乎小学生数学学习的兴趣、动机以及对数学的理解，而且直接影响他们学习潜能的发挥，决定学习活动能否生动活泼、富有个性。在教学预设中，组织学习素材主要目标思考：
1、能引发探究的动机
要让教学内容对学生的数学学习充满诱惑性和吸引力，学习材料的“现实性、趣味性和挑战性”应是首当其冲的，无数成功的数学教学实践事实上都已充分地论证了这一切。因此，在选择素材的过程中，教师应更多地将视角投向现实生活，努力开掘那些发生在学生身边的、同时又暗含着某种数学现象或数学规律的实际问题来建构小学生数学学习的内容体系。
2、能支持探究活动的展开
3、素材选择，“肥”“瘦”相宜
情节不宜太多。要尽可能使情节明快、集中，便于学生集中精力和时间对问题作深入的有效的研究讨论，让学生有可能思绪飞扬、兴趣盎然，有可能摩擦出创造的火花，涌现新的问题和答案。我们常发现教师在设计教学时，不去认真钻研教材，了解学生，而是去翻阅期刊，寻找教案，或在记忆的深处搜索名师课堂的场景，总感觉这个活动很新潮，那个活动也不舍得丢。结果，教学情节非常臃肿。课堂上，学生思维紊乱，教师顾此失彼。参考借鉴，本来无可厚非。但是，参考借鉴不能被名师所困，不能被他人教案所累，应透过现象看实质，将“他山之石”，为我所用，并加以放大。情节不在于多而热闹，而在于简约有效。
问题空间大小有度。把问题编得十分细碎，学生容易获得标准答案，由一串细问题循序渐进走向目标，有教师控制具体过程、规定学生思维路线之嫌；相反，问题空间太大，不着边际，生成太杂。高质量的问题既能引导学生发现问题的答案，又能让学生在寻求答案的过程中充分显示其自主性和创造性；既能为学生提供可创造之物，又不包办学生自主创造的过程。这样的问题既要具有一定的挑战性，学生必须调动自己的经验，经过思考才能解决；对于大部分学生而言，经过思考又是能够解决的。
操作材料繁简有则。教学“时、分的认识”，教师为了让学生体验1分长短，把学生分成五大组，并分别提供如下材料：口算题、故事、书法练习纸、跳绳、皮球。结果班级里读书声、拍球声、跳绳声、数数声交织在一起，好不热闹。另一位教师教学“梯形的面积计算”时，给每组学生准备两个完全一样的梯形。上课时，教师要求学生动手操作，学生顺理成章地探索出了结果。很显然，第一位教师提供的材料过于臃肿。在这么热闹的活动中，学生还是在体会1分钟有多长吗？汇报时，数跳绳的学生结果变成数拍球的，数拍球的结果变成数跳绳的，读书组的学生费了好长时间数不清读了多少字，闹了很多笑话。后一位教师提供的材料又太单薄了。从表面上看，学生动手操作了，实际上学生只是机械地拼一拼，没有自己的猜想和创造，拼“两个完全一样的梯形”是怎样想到的，学生不得而知。可见，选择操作材料要依据教学内容，既能突显数学实质，又具有较强的思考性。
（二）设计活动
活动是学生利用素材实现知识技能、数学思维和一般能力得到同步发展的行为方式。根据课程标准的基本理念和现代认知建构观，结合数学学习的一般过程，数学教学活动主要包括知识发生的活动、知识发展的活动、知识应用的活动。
1、知识发生的活动
知识的发生，表现出新学习的内容与学生原有的数学认知结构之间的相互作用，这中间蕴含着新问题的产生。新问题的生成离不开问题情境的创设。问题情境不应只是绚丽多彩的动态画面，其要害是必须暗含着数学问题。问题情境只要能产生儿童认知的“不平衡”，引起他们的思维冲突，就能激起他们的好奇心、求知欲，就会出现发展，就会使教学过程始终在动态平衡中前进，就能达到有效学习。“问题”可以来自数学知识内部；也可以来自数学知识外部，即现实生活。
2、知识发展的活动
这是教学活动的主体部分。教师要在全面了解学生的现实状态（知识基础、相关的经验储备、对新知的掌握情况等）基础上，围绕教学内容设计，让学生经历合理、自然的知识“再创造”过程。
活动要让学生有数学思考和发展变化的体验。首先，活动要散发出“数学味”。“数学教学是数学思维活动的教学。”不能发展起数学思维的活动不能称作数学活动。教师不仅要使每个学生在数学课上积极地参与外显的活动，更要关注他们通过观察、分类、抽象、概括、推理与交流等思维环节实现“外显”与“内隐”的结合。其次，学生参与活动后要有发展变化。有一位教师教学“解决分数实际问题”是这样设计的，教学开始，教师提供如下场景：筐里有12个蘑菇，把蘑菇的 分给小猴，提出“一共分给小猴多少个”的问题，让学生思考并说说“把蘑菇的 分给小猴”是什么意思，鼓励学生用自己的方法解决问题。接着出现几个类似的实际问题，如把10根胡萝卜的 分给小兔，分给小兔多少根?由学生自己解决并表达解决问题的大致想法和结果。最后让学生讨论这样的问题是怎样解决的，帮助学生形成思路：可以先算出一份是多少，再算出几份是多少。反思上面的教学设计，教师不是停留在解决了问题的层面上，而是上升到数学层面上，组织学生思考、交流“问题是怎样解决的”，更深刻地认识解决问题的一般方法，将“经验”上升到“数学”，形成解决问题的策略。现在有一些课学生似乎是活动了、问题解决了，但学生的认识往往仍然停留在原有经验的层面上，缺乏数学层面的思考、认识和提升，制约了学生数学素养的发展。有一位教师设计“比一比”（一年级上册）的教学时，给学生提供大量的活动，让学生摆一摆、比一比，得出谁比谁长（短）、谁比谁高（矮）后，就此罢休。这算不算发展？当然不算。因为学生不学也会。教学“比一比”，应该让学生在获得活动经验的基础上，抽象出“对齐摆”的方法。因此，让学生从数学层面上来理解问题的本质，形成新的认识，获得数学思想与方法，在数学活动设计中显得尤为重要。
选择恰当的活动形式。课堂上的时间是一个常数，教学策略的选择应当简洁而具有针对性。一些数学课堂的数学活动并不十分有效，主要的原因是对怎样引导学生展开学习活动考虑不周，对相应内容学生一般是怎样认识的研究不深，只搞形而上学，非常浅显的问题组织学生讨论，不必分组的安排小组学习，显而易见的结论要求学生实践、验证，把新的学习方式的主要特征简单地理解、对应成几种学习形式。教师应该严格按科学规律办事，不随意否定过去被实践证明是行之有效且也适应当前教学状况的观念、模式，在扬弃的基础上“与时俱进”，从教学内容的特点和学生认识的一般规律出发，选择恰当的形式来组织和展开教学。
3、知识应用的活动
（三）确定反思时机
数学知识的学习过程不仅是对所学知识的识别、加工和理解的认识过程，而且也是一个对该过程进行积极的监控、调节的反思过程。因此，教师设计教学不能局限于引领学生经历知识探究发现过程，更要注重设计组织学生对探究过程的反思。例如，在结论形成之后，组织学生对发现过程再反思，有利于学生对学习过程、学习方法作出自我监控、自我提升、自我调节。在应用知识解决问题之后，组织学生反思：“我是怎样解决问题的？”“我的方法最简洁吗？”“有没有比我的方法更简洁的？”帮助学生确立优化意识。在全课总结时，可以组织学生自我总结，通过交流收获和体会，梳理知识，总结方法；也可以组织学生自我评价，通过自我反思，建立自信，补救缺憾；还可以通过课后写数学日记反思梳理，学生可以对所学的内容进行总结，就像和自己谈心一样写出自己的情感、态度、困难之处或感兴趣之处。只有这样的数学教学——以反思为核心，才能使学生真正深入到数学化过程之中，从而借助自己的数学知识与数学方法来为各种错综复杂的具体现象，构造相应的数学模型，并解决实际问题，形成终身学习的能力。
一位专家曾说过：一个人离开学校，把学到的知识忘掉以后，剩下的部分就是素质。我想，这里“剩下的部分”就是一种终身学习的能力，一种积极的自我意识。它不是一朝一夕滋长起来的，是学生对自己的学习历程不断反思的积淀。
二、超越：构建有效数学课堂的必然
尽管教师在教学预设之前认真研究了教材、了解了学生，但这种预设毕竟是带有教师主观性的设计蓝图。课堂上可能发生的一切，不是教师都能在预设时预测的。教学过程的真实推进及最终结果，更多地是由课的具体行进状态，以及教师当时处理状态的方式决定的。因此，教师在教学中不能拘泥于预设的程序，要把执行教案看作是课程实施的起点，据学而教，用心收集、捕捉和筛选学习活动中学生反馈出来的有利于促进学习者进一步学习建构的生动情境和鲜活的课程资源，灵活调整教学行为，从而使教学过程具有生成新因素的能力。
（一）调整预设程序
由于教师的主观意识和对学习者原有经验的预料不足，容易造成教学方案的预设情况与课堂教学真实情境的脱榫。教师对学生反馈的信息（尤其是教学预设的起点低于学生真实起点）是不理不睬，通过“巧妙”的“引导”把学生拽回到预设的教案上来，还是根据学生的数学现实，及时调整预设的方案，这反映出两种截然不同的教学观。一位教师教学“长方形的面积计算”时，面对学生突如其来的发言，机智地调整教学行为，值得我们思考。教师的预设方案是：（1）出示两个相近的长方形，让学生比较这两个长方形的面积的大小，从而引出长方形面积计算的问题。（2）课件演示，改变长方形的长和宽，初步感知长方形的面积与长和宽有关。（3）学生利用手中的学具，小组合作，自主探索长方形面积的计算方法。教学中，当进行到第一个环节时，一个学生坐在位上脱口而出：“我知道只要用‘长×宽’就可以求出它们的面积”。童言无忌，童言最真。这时，教师不是死搬原先预设不放，而是智慧地调整了教学思路。教师面对学生说：“请知道长方形面积计算方法的同学对老师笑一笑”。结果，全班竟有半数的学生发出骄傲的微笑！“你们是怎么知道的？”学生有的说是从课外书上看到的，有的说是预习课本知道的······“那谁知道长方形的面积为什么可以用‘长×宽’计算吗？”学生纷纷摇头。教师及时肯定：“老师非常欣赏同学们能通过不同的渠道获取数学知识。看来大家只知道长方形面积怎么算，却不知道为什么？想不想知道为什么呢？”学生的积极性马上被调动起来，他们利用手中的材料主动参与到长方形面积计算公式的证明中去，所表现出来的聪明才智大大地超出了教师的预想。如果教师面对始料未及的发言视若不见，也许教学能取得较好的效果，但课堂上“以人为本”的理念如何体现呢？
教师是否真诚地做到“以人为本”，最主要地是看其组织和引导的课堂教学是体现“教为学服务”，还是“学为教服务”。要做到“教为学服务”，唯有尊重学生的已有的知识和经验，以学定教；唯有放下“尊严”、远离“偏见”、耐心“倾听”，“把课堂还给学生，让课堂充满生命气息”。
（二）调整教学任务
一堂好课的标准随着时代的发展应不断赋予新的内涵。现在，衡量一堂好课，不是看环节安排多么严密、时间分配多么恰当、教师教得多么华丽，而是看学生学得是否主动，学了之后是否有发展。课堂上，我们经常遇到这样的尴尬：教师正要进行下一个环节教学时，学生可能会冷不丁冒出一个问题，或补充一种算法，或提出一种疑义等。这时，放弃既定环节教学，就会影响教学任务的完成；装作未见，又显然有悖于“据学而教”的理念。每每遇此，教师常常进退两难。一个真诚关注学生发展的教师会宁愿削减一些教学内容，也要“停足顿脚”，敏锐捕捉稍纵即逝的生成点，并加以放大。一位教师教学“分数与百分数互化”，在揭示出分数化成百分数的一般方法后，习惯性地让学生读教材结语：把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（遇到除不尽时，通常保留三位小数），再化成百分数。刚停读，一个学生就疑惑地问：这段结语中，用了两个“通常”，是不是重复了？教师马上意识到这是一个绝妙的生成点，放弃继续新环节教学的念头，说：问得太有水平了！这里为什么用两个“通常”呢？小组商量一下。学生经过讨论后，展开交流。生1：第一个“通常”之外，是分母扩大若干倍后，恰好是10、100、1000时，可以直接把分数化成百分数。如 ＝ ＝ ＝25%。生2马上举手：第一个“通常”之外还有一个意思，当分母缩小若干倍后恰好是100时，也可以直接化，如 ＝ ＝5%。生3：第二个“通常”的意思是分子除以分母除不尽时，一般保留三位小数，“通常”之外是指有特定要求时，就按要求保留小数位数。······学生在字斟句酌的探索中，深入参与数学概念的分析、解释、例证的再发现、“再创造”活动，获取自我创造的积极情感体会。虽然这节课最后教师精心设计的练习没有做完，但是学生的进步和发展远不是做几道练习所能及的。
某一节课的教学任务完成与否并不影响学生的整体发展，课堂教学最重要的是培养学生自主学习的能力和创新素质。一节课的任务不能完成还有下节课，但学生创新火花的迸发不是周而复始的。教学中，许多富有创造性的生成点是一闪而过的，一个时间差，就可能错失一次激情与智慧综合生成的良机。
（三）调整学生思维
教学“找规律”，屏幕上出现一幅图画（超市门口挂了一些灯笼，红、黄、蓝三种颜色有规律地排列着，其中有两盏灯笼被一辆停在门口的汽车给遮住了。）教师提问：“你能知道被汽车挡住的灯笼，分别是什么颜色吗？”一个学生说：“只要把汽车开走就知道了。”面对如此“生成”，两位教师作出不同的应对。第一位教师竖起大拇指，称赞道：“对啊！只要把汽车开走，不就清楚了吗？你的想法很有创造性！谁还有不同的想法？”马上有一些学生接上：“我只要跑到汽车后面看一看就知道了。”“可以问站在汽车后面的人。”······教师不断表扬学生，学生不断又有新的想法。第二位教师是这样引导的：“这位同学的想法很奇特，如果能用数学的方法去思考就更好了。认真观察灯笼的摆放，谁能发现出什么规律吗？”学生的思维很快回到数学上来。比较两位教师对教学现场的处理，哪一种是我们需要的课堂呢？数学课的生成，有其基本要求：生成必须是思考的结果。没有思考而生成的材料都应视为无效的泡沫。数学课上，经常有学生作一些不着边际的猜想，教师决不能冠以“有个性”的美名加以赞赏，一概用“真棒”、“很好”作糊涂裁判，应态度鲜明地进行引导，以免教学偏离轨道，失去了“数学味”。当然，这种引导，不是一棍子打死，既要指出学生的闪光点，又要给出学生思维的方向。
还有一位教师教学“分数的初步认识”，出示如下判断题：把一张纸分成两份，每一份是这张纸的 。学生有的说对，有的说错。教师把学生分成两组，开展辩论。认为错的一方拿出一张纸随便撕成两份，质问对方：“这是分成两份吗？”（是）“每一份是这张纸的 吗？”（不是）“那你们为什么认为对？”这时，认为对的一方拿出一张正方形纸对折后，平均分成两份，反问道：“这是分成两份吗？”（是）“每一份是这张纸的 吗？”（是）“那你们为什么认为错？”认为错的一方马上辩驳：“题目中没有说是平均分啊，你们是偷梁换柱！”认为对的一方不服：“可题目也没有说不是平均分啊。”······双方互不买帐，争辩持续好长时间。表面上看，双方好像观点不一，其实只要分析一下双方的发言就能看出，双方已经接纳了“平均分”的概念，只是认为对的一方犯了以偏概全的错误，教师只要稍加引导就可以结束这场没有结果的争辩。争辩是思维的最好触媒，经常被教师引用到课堂中。但是，我们应当明确，争辩的目的是为了形成共识，加深学生对数学概念的认识。如果学生的争辩偏离了方向，教师不能做局外人，应有效调控，否则会导致争辩走进死胡同，陷进思维的漩涡。
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