抽象代数 2.5-商群和正规子群

我要点名表扬一下！这个楷体我很喜欢，以后就是这个排版了，不准反对！！！

2.5 商群和正规子群

参考文献：

1. 上课笔记
2. 抽象代数，樊恽等
3. 抽象代数，姚慕生（复旦）

从下一次开始我们又要引入英文书的内容请做好准备哟！

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上一节中我们已经可以看到，当建立了陪集的概念之后，我们就可以建立一种等价关系：设是一个群，：

即我们通过的右陪集建立了一种等价关系,现在我们想要在这种等价关系下建立的商集中定义合理(well-defined)的运算，使之成为一个群，我们事先给商集建立的群起个名字-商群.

一种自然的定义方法就是：

注意到这种定义的二元运算在某些程度上以来于原来群的结构，因为右边的是原来群中的二元运算.首先我们需要看看怎样定义才能是是well-defined,即我们定义的运算和代表元的选取是无关的.

❝

问题：设是一个群，,当满足什么条件时，通过上述定义的运算结果跟代表元的选取无关？

❞

分析：设,即：,所以：

又因为:

若：,那么有：,所以：

由于上述中的没有任何特异性，所以应该对任意的都有上述命题成立.又因为对任意的,自然两边取逆也是对的，所以：,那么我们就可以得到：.同样我们逆回去推也是正确的.

因此，我们得到一个重要的结论：上述定义与代表元的选取无关当且仅当.下边我们来验证在这样的定义下，是否成群：

1. 封闭自然满足，结合自然满足；
2. 幺元存在；
3. 逆元存在.(事实上你还需要看看逆元是否与代表元的选取有关，当然这是容易验证的，它确实与代表元的选取无关.)

下边我们正式给出正规子群的定义：

❝

[正规子群] 设是群的子群，若对于任意的,都有：,则称是群的正规子群(或不变子群)，记为：

❞

很自然的我们就会问怎样判定一个子群是正规子群？

❝

[正规子群的判定定理]设 是群 的子群. 以下3条等价:

3. ;

❞

证明:

(1):因为是正规子群所以：.

(2) 因为：,所以.将的位置左乘，右乘就可以得到.所以.

(3)显然，左乘即可.

下边我们也正式给出我们开篇就提出的商群的定义：

❝

[商群]设是群的子群，为的全体左陪集所成的商集，则定义：

是上的运算的充要条件是：,即使的正规子群.此时我们称群对正规子群的商群.❞

点评：正规子群的重要性在于可以利用它定义商集，使其成为一个群.而这是一般的陪集做不到的，因为如果不是正规子群那么它定义的运算就不是一个合理运算.

❝

命题：设群 的子群 不是正规的, 证明: 在左陪集集合 上不能用左陪集代表元的运算来合理定义商集 的运算.

❞

证明：因为不是正规子群，所以存在使，;又因为：,现考虑：和但否则：

这与前提矛盾，故命题得证.

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水星记！！！啊啊啊！！！我为什么才发现？