暴力PDE：波动方程（三）

[Laplace变换]

本节内容不加证明！

Laplace变换

设 在 上有定义. 对于复数 , 定义 的 Laplace 变换为

有时也称 是 的像函数.

---

关于Laplace变换的存在性：

若 在 上分段连续且不超过指数型增长, 即存在常数 使得 , 则 的 Laplace 变换对满足 的所有 都存在.

下边我们给出一些常用的Laplace变换公式：

下边要给出一些Laplace变换的性质，我们会经常用到：

1. (线性性质)
2. (位移性质) . 由此推知
3. (相似性质) .
4. ( 微分性质 ) 若在 上, 分段连续, 连续且不超过指数型增长,  即存在常数 使得 , 则当 时, 的 Laplace 变换存在, 且成 立 . 对于高阶导数, 也有类似的结论: 如果在 上, 分段连续, 连续, 且不超过指数型增长, 那么 的 Laplace 变 换存在, 且成立

5. 
   

6. (乘多项式性质)

7. 
   

卷积

称

为函数 与 的卷积.

卷积有下面的性质:

---

性质：

Exercise

求 Laplace 逆变换 .

---

因为 , 记 , 则有

下边的一个例子可以告诉大家如何用Laplace变换来求解偏微分方程！

关于 施行 Laplace 变换知

利用 得到

解之得

其中 是积分常数. 利用 知 , 于是

所以

方法归纳：

从前面的例子看出,用积分变换方法求解定解问题的过程大致如下:

(1) 根据自变量的变化范围以及定解条件的具体情况,选取合适的积分变换,把偏微 分方程转化成像函数的常微分方程;

(2) 对定解条件取相应的变换,导出像函数所满足的常微分方程的定解条件;

(3) 求解这个常微分方程的定解问题, 得到像函数;

(4) 取逆变换, 得到原问题的形式解;

(5) 进行综合过程, 给出形式解成为真正解所需要的条件, 从而得到解的存在性. 

需要pdf请说明来意！