连通性（一）

连通性

在正式进入连通性之前，我们先给大家一个例子，请大家凭借自己的直观感受来感觉这个图形是否“连通”；

拓扑学家的正弦曲线：

虽然我们并没有介绍连通的概念，但是读者已经在实际生活中对其有了刻板的印象，为了打破读者的刻板印象我们接下来会详细介绍连通以及道路连通的定义和他们的基本性质。

定义和基本性质

[连通性]拓扑空间被称为不连通的存在不交的非空开集使得.如果存在这样的，我们就称他们构成了空间的一个分割，连通的定义即为不存在的分割.

从上边的定义中，我们不难得到连通的等价定义：

1. 不能分割为两个非空无交闭集的并；
2. 中不能存在既开又闭的非空真子集；
3. 中既开又闭的集合只有全集和空集。

如果是的子空间，那么我们也有一种比较等价的判定方法；

引理1：如果 是 的子空间, 则 的一个分割是一对无交的非空集合 和 , 它们 的并等于 , 并且 和 中的任何一个都不包含另一个的极限点. 如果空间 不存在这样的分割, 则空间 是连通的.

这样的分割即意味着：.

证明：一方面假设不连通那么存在一个分割,那么意味着在中既开又闭，因为；

故不连通便有上边的分割。

现在假设存在这样的分割，我们往证不连通，那么这意味着要证既开又闭,因为交集是空集，又因为,所以可以得到，是闭集，又因为：,所以是开集，同理也是既开又闭，因此不连通.

接下来给出一些例子，并给出最重要的连通的集合；实直线上的区间。

例1：超过两个点的平庸拓扑是不连通的.这是因为每个集合都是既开又闭的。

例2 考虑的子空间:

这个空间是不连通的，因为每个都是子空间中开集，且不包含彼此的极限点.

现在我们证明最重要的连通集合：

赋予欧式拓扑是连通的.

下边我们开始证明这件事情：

假设,且每个都是开集且交集为空集，任取中的某个点是中的极限点，下设为中一个点；

根据确界原理他有上确界记为,如果,那么和之间所有点都在中，那么是的一个极限点.

如果,那么根据上确界的定义就知道是的一个极限点，因此不论怎么说，都无法做到：：. 因此是连通的.因此我们可以得到赋予子空间拓扑不是连通的，同理子空间拓扑不是连通的，\hs{这说明连通性不是具备遗传性.}

上述不连通空间的例子过于平常，我们下边举一个不那么寻常的连通的例子：

例3 ：是连通的.

这是因为任何两个非空开集都是相交的，因此要想找到一个空间上的两个开集的无交并为全集那么只能是空集和全集，故空间连通.类似的，我们可以证明是连通的.

用上边的方法我们可以证明：

定理1：中的集合是连通的是区间.

是区间：用例题中的方法可以证明它是连通，几乎不做改变.

若连通，但不是区间，那么意味着存在一个使得，且但是中，我们证明其是不连通的来反证.我们记：

若,,这是因为不在中就更不可能在中，这里均指的是子空间下的闭集，而对,都是大于的元素，因此；

同理可以得到另一边，这与是连通的是矛盾的，因此我们得到了实直线上的连通集是区间.那么自然意味着有理数集合无理数集是不连通集.

拓扑性质

拓扑不变性质

然而，我们不可能每次遇到一个问题都要用这种构造性的证明，为了得到更多的连通空间，我们有如下定理：

定理2：连通空间在连续映射下的像是连通的.

考虑连续映射:,证明在Y中是连通的.我们采用反证，不妨直接设,假设不连通，那么有的一个分割，,那么:

那么和都是开集是的一个分割，这与是连通集是矛盾的.这说明连通性是拓扑不变性质.

下边我们用这个定理来证明一些空间的连通性：

例4：是连通的.因为.

问题：现在我们能够证明我们最开始提出的例子是连通的吗？

看起来似乎已经很接近了，这是因为前半部分是的项，由于是连通集，因此这一部分也是连通的，但是剩下的一条线段虽然是连通的，但我们没办法证明它们的并是连通的.(一般情况下这是错误的.)但是仔细观察就会发现，整个图像其实是前者的闭包，因此如果我们能够证明如果连通，那么连通，就能够证明拓扑学家的正弦曲线四是连通的.下边我们实现这件事情.

引理2：如果集合 与 构成 的一个分割, 并且 是 的一个连通子空间, 那么, 或者包含于 , 或者包含于 .

我们考虑.那么根据子空间拓扑的定义这两者都是开集且并集为,因此如果都是非空那么就是的一个分割，但是由于连通，因此必然其中一个空集一个是,由此命题得证.

定理3：含一个公共点的 的连通子空间族的并是连通的.

设是含有作为公共点的一族连通开集，往证是开集.假设不然设是的一个分割，，对每个要么全含于要么全含于,但是他们有公共点因此只能全含于某一个，不妨假设全含于,那么得到矛盾.因此是连通集.

下边我们边可以证明前面所述：

定理4：设 是 的一个连通子空间. 若 , 则 也是连通的.

假设不然那么存在一个分割,那么必定全含于或者,不妨假设全含于,因此有：

因此,于是必然为本身，这与分割的定义矛盾那么我们得到是连通的，特别的，取就为,可以得到连通.于是命题得证.

现在我们便可以回答问题：

练习：拓扑学家的正弦曲线是连通的。

令,那么,其中连通因此连通，命题得证.

可乘性

下边我们来讨论连通性的有限可乘性.

我们直接以定理的形式给出：

定理5：有限多个连通空间的笛卡尔积是连通的.

2

当然还是只证两个的乘积，当然拓扑还是积拓扑.我们采用两个方法证明，第一个证明是从定理3出发，第二个定理将从一个比定理3更强的定理出发(我们稍后再引入这个定理.)

在中选取一个点,考虑这个点 以及：

这个集合连通因为他们有交点,接下来我们考虑：

那么这个也是连通的.因为每个都包含了因此再次利用定理3可以得到所证。而容易看到就是本身.因此结论证毕.

定义2：若 与 是空间 的子集,并且若 为空集,则我们 说 与 在 内是互相分离的.

定理6：设 是空间 的一组子集, 它们的并集是整个 . 若 的每个 成员是连通的, 并且 的任意两个成员在 内都不是互相分离的, 则 连通.

这个定理不同于前面的3，他不要求都有公共点，只要求任意两个都不可分离.

我们设是一个既开又闭的集合，证明它只能是全集或者空集.

证明：任意取一个元素,那么在中既开又闭，但是是连通的，那么只能意味或者,如果对应中每个成员交集都是空集，那么就是空集.

如果对于某些交集是空集，但是另外一些不是，不妨记为,那么.那么：

因此

这意味着,但是包含中的某些成员，和他们是互不分离的，因此自然和无法分离，于是命题得证.

现在我们用这个引理来证明：

这个是连通的，且他们的并是的一个覆盖，且两两互不分离，因此得证.

反之，如果连通，那么和是连通的，这是因为投影是连续映射，将连通集映为连通集.

进一步讨论是否具备无穷可乘性，这必然与是积拓扑或者箱拓扑有关.

例6：考虑 上的箱拓扑. 可以表示成所有有界实数序列的集合 与所有无界序列的 集合 的并. 这两个集合无交, 且每一集合都是箱拓扑中的开集. 这是由于任意选取 的一 个点 , 若 是一个有界序列, 则

构成一个开集，当其是无界序列时也构成一个开集，因此得到了的一个分割，故它不连通.

例7：考虑 的积拓扑. 假设 是连通的, 我们来证明 是连通的. 设 是由所有序列 组成的 的子空间, 其中, 当 时有 . 显然, 同胚于 , 根据前 一个定理可见, 它是连通的. 由于每一个 都包含点 , 所以所有这些 的并 是连通的. 我们来证明 的闭包等于 , 由此推出 也是连通的.设 是 的一个点, 为积拓扑中含有点 的一个基元素. 我们证明 与 有交. 选取一个整数 ,使得当 时有 . 则 的点

属于 , 这是由于对于所有的 有 , 并且对于所有的 有 .

用同样的方法我们可以证明无穷笛卡尔积的积拓扑连通当且仅当每个分量都连通.

用连通性我们可以得到一些空间的不同胚性：

练习：证明和不同胚.

反证：假设和同胚，不妨假设连续函数为,那么,我们记,那么是中的连通集，那么自然也是中的连通集，特别的我们可以选取充分小的,使得其中,由于也是中的连通集，因此他在中也是区间，但是由上边的分析显然不是中的区间，矛盾.