类型一：A字型
1．如图，已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B，则线段AD的长为 ．
2．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是 ．
3．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：
（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．
类型二：X型
1．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO：DO＝1：2，那么下列式子正确的是（ ）
A．BO：BC＝1：2 B．CD：AB＝2：1 C．CO：BC＝1：2 D．AD：DO＝3：1
2．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（ ）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
类型三：旋转型
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB上，A′B′交AC于F，则图中与△AB'F相似的三角形有（不再添加其它线段）（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．
（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；
（2）请分别说明两对三角形相似的理由．
3．已知：如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE，如果点D在BC上，且∠EDC＝∠BAD，点O为AC与DE的交点．
求证：（1）△ABC∽△ADE；
（2）DA·OE＝OA·CE．
类型四：垂直型
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则图中相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD＝3，BC＝5，则EF的值是（ ）
B．2 C． D．2
3．矩形ABCD中，M是BC边上且与B、C不重合的点，点P是射线AM上的点，若以A、P、D为顶点的三角形与△ABM相似，则这样的点有 个．
4．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为 ．
类型五：一线三等角
1．已知如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知：如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE，如果点D在BC上，且∠EDC＝∠BAD，点O为AC与DE的交点．
求证：（1）△ABC∽△ADE；（2）DA·OE＝OA·CE．
3．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE＝∠B，PE交CD于E．
（1）求证：△APB∽△PEC；（2）若CE＝3，求BP的长．
4．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M、N，
（1）求证：△AMB∽△AND； （2）求证：．
类型六“利用等线段代换证明
1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB．
（1）求证：＝；（2）如果AB⊥AC，AE：EC＝1：2，求证：AC＝BD．
2．在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于E，交AD于F．①求证：∠B＝∠EAC；
②若设CE＝a，DE＝b，BE＝c，你能根据这些条件判断关于x的一元二次方程ax2﹣2bx+c＝0的根的情况吗？说明理由．
3．如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE于G．
求证：AG2＝AF·FC．
类型七：利用等比代换或等积代换
1．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F．求证：AC·CF＝BC·DF．
2．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F．
求证：BD·CF＝CD·DF．
相似三角形中动点及探究性问题
1．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且，若AB＝1，设BM＝x，当x＝ 时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．
2．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动．若以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为 秒．
3．如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC＝ ．
4．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6cm，CD＝4cm，BD＝14cm，点P在直线BD上，由B点到D点移动，（1）当P点移动到离B点多远时，△ABP∽△PDC；
（2）当P点移动到离B多远时，∠APC＝90°？
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果＝m，＝n．那么用含n的代数式表示m是：m＝ ．
6．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则Sn可表示为 ．（用含n的代数式表示，其中n为正整数）
7．如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1．设BP＝x，平行四边形AFPE的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．
相似三角形综合探究
1．一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0，1），直角顶点C的坐标为（﹣3，0），∠B＝30°，则点B的坐标为（ ）
（﹣3﹣，3） B．（﹣3﹣，3）
C．（﹣，3） D．（﹣，3）
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则AD＝ ；B'F＝ ．
3．现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于P，Q，易得BP：QP：QR＝3：1：2．
（1）若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC，CD，DE于P，Q，R，则BP：PQ：QR：RS＝
（2）若取五个直角三角形拼成如图3所示的形状，T为FG的中点，BT分别交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，则BP：PQ：QR：RS：ST＝ ．
4．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．若AD、BC所在直线互相垂直，的值为 ．
相似三角形的动点探究
1．如图，在一块直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD＝ ．
2．如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B不重合）．在射线AG上取AD＝OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．（1）用含t的式子表示点E的坐标为 ；
（2）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时，∠OCD＝180°？
相似三角形与其它知识点的综合
1．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（ ）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
3．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
4．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y＝﹣、y＝的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为 ．
5．如图，O为矩形ABCD的中心，E为AB边上一点，OF⊥OE且与BC边交于点F．若AB＝6，AD＝4，设OE＝x，OF＝y，则y与x的函数关系式为 ．
6．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？
7．已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE．
联系客服
