快乐课堂学数学-多余老师趣讲“迷人的数学世界”-华东师范大学出版社七年级上册
宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，大千世界，天上人间，无处不有数学的贡献。
让我们走进数学世界，去领略一下数学的风采。
一、 数学是做什么的？
数学是研究数量关系和空间形式的科学。
数学与人类的活动息息相关，特别是随着现代计算机技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。
数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在社会科学与人文科学中发挥着越来越大的作用。
数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。
数学作为我们全面发展的重要组成部分，一方面要掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，另一方面要从数学中培养自己的逻辑推理和创新思维。
数学课程具有公共基础的地位，能使我们的整体素质得到提高，从而使我们更好地全面、持续、和谐发展。
通过数学的学习，我们要：
掌握必需的数学基础知识与基本技能，
发展抽象思维和推理能力，
培养应用意识和创新意识，
并在情感、态度与价值观等方面都得到发展。
对数学课程，我们要体会到数学本身的特点，数学的精神实质；要掌握数学课程结构的搭建规律；对数学应具有的情感和态度，树立对数学的学习兴趣；要在掌握作为知识与技能的数学结果的同时，更要重视自己已有的数学经验，体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。
二、学习数学的基本理念
人人都能具备良好的数学素质，不同的人在数学上会得到不同的发展。
对数学的课程内容，要想想，反映社会的什么需要、数学学科的什么特征，与已有知识有什么联系的规律。
数学，不仅包括数学的结论，也包括数学结论的形成过程和数学思想方法。
学习数学课程内容要联系生活实际，从而才能进行体验、思考与探索。
学习数学课程内容，要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，直接经验与间接经验的关系。应注意数学课程内容的层次性和各层次的关系和多样性及各种类知识之间的联系。
学校的数学课，是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。要记住：我们自己才是数学学习的主体，教师是我们数学学习的组织者、引导者与合作者。
获得知识，可以通过接受课堂学习，也可以通过自主探索等方式，但必须建立在自己思考的基础上；应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践；在获得知识技能的过程中，只有亲身参与学校教师精心设计的教学活动，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展。
数学学习，要建立学习兴趣，树立学习积极性，爱进行数学思考，培养自己的创造性思维；要建立学生良好的数学学习习惯，掌握有效的数学学习方法。
数学学习是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受课堂学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是学习数学的重要方式。每天要安排有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。
我们要培养自主学习的能力、养成自主学习的习惯，独立思考、主动探索、合作交流，能自己理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得基本的数学活动经验。
考试的主要目的是为了全面了解自己数学学习的过程和结果，激励自己更努力学习和改进学习方法。要多角度评价自己的考试分数。不能只关注分数的结果，更要关注丢分的类型；正确评价自己现在的数学学习的水平，也要评价自己在数学活动中所表现出来的情感与态度，从而帮助自己认识自我、建立信心。如，要思考评价以下情况：是否积极参与学校课堂教学过程？是否勇于探索、创新？是否感受数学的价值？如何使自己愿意学，喜欢学，对数学感兴趣？是否体验成功的喜悦，从而增强自信心？是否善于与同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意见，又能独立思考、大胆质疑？是否让自己做自己能做的事，并对自己做的事情负责？是否锻炼克服困难的意志？是否培养了良好的学习习惯？
把现代信息技术作为我们学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进学习的方式，使自己更乐意投入到现实的、探索性的数学活动中去。
三、 数学的主要内容
数学课程有四个方面的内容：“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”。
◆数与代数
“数与代数”的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程、不等式，及以后要学习的方程组、函数等。
在“数与代数”的学习中，我们应建立数感和符号意识，发展运算能力和推理能力，初步形成模型思想。
数感主要是指关于数与数量表示、数量大小比较、数量和运算结果的估计、数量关系等方面的感悟。建立数感有助于我们理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。建立符号意识有助于我们理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力还有助于我们理解运算的算理，能够寻求合理简洁的运算途径解决问题。
建立和求解模型的过程包括：从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于我们初步形成模型思想，提高学习兴趣和应用意识。
◆图形与几何
“图形与几何”主要内容有：空间和平面的基本图形，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称，及以后要学习的相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。
在“图形与几何”的学习中，我们应建立空间观念，注重培养自己的几何直观与推理能力。
空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等。
几何直观主要是指利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。
推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。
◆统计与概率
“统计与概率”主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数，以及以后要学习的极差、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断；简单随机事件及其发生的概率。
在“统计与概率”中，我们应逐渐建立起数据分析观念，了解随机现象。
数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴涵着信息的；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
在概率的学习中，了解随机现象是重要的。学习中所涉及的随机现象都基于简单随机事件：所有可能发生的结果是有限的、每个结果发生的可能性是相同的。
◆综合与实践
“综合与实践”是一类以问题为载体、多人共同参与的学习活动，是帮助我们积累数学活动经验、培养应用意识与创新意识的重要途径。针对问题情境，我们综合所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间、数学与其他学科之间的联系，加深对所学数学内容的理解。
四、学习数学的总体目标
通过数学学习，我们能：
1. 获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。
3. 了解数学的价值，激发好奇心，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。
总体目标从以下四个方面具体阐述：
知识技能 | ●经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。 ●经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。 ●经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能。 ●参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验。 |
数学思考 | ●建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。 ●体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。 ●在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。 ●学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。 |
问题 解决 | ●初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，发展应用意识和实践能力。 ●获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。 ●学会与他人合作交流。 ●初步形成评价与反思的意识。 |
情感态度 | ●积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。 ●体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。 ●体会数学的特点，了解数学的价值。 ●养成质疑的习惯，形成实事求是的态度。 |
总体目标的这四个方面，不是互相独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。在数学学习过程中和对自己进行评价时，应同时兼顾这四个方面的目标。这些目标的整体实现，是我们受到良好数学教育的标志，它对我们的全面、持续、和谐发展，有着重要的意义。数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现。
四、 七年级的数学学习目标
学习目标使用“了解、理解、掌握、运用、经历、体验、探索”等术语。这些词的基本含义如下。
了解：从具体事例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。同类词：认识，知道，说出，辨认，识别。实例：识别同位角、内错角、同旁内角。
理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。同类词：会。实例：会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。
掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境。同类词：能。实例：能运用运算律简化运算。
运用：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。同类词：证明。实例：证明：两直线平行，则同位角相等。
经历：在特定的数学活动中，获得一些感性认识。同类词：感受。实例：在具体情境中感受负数的意义。
体验：参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得经验。同类词：体会。实例：通过实例体会反证法的含义。
探索：独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得理性认识。
（一）数与式
1．有理数
（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。
（2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道｜a｜的含义（a表示有理数）。
（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(三步以内必须快速、准确)。
（4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。
（5）能运用有理数的运算解决简单的问题（如例1）。
例1 灾害预案。
一次水灾中，大约有20万人的生活受到影响。如果灾情持续一个月，大约需要筹集多少顶帐篷？多少吨粮食？
[说明] 解决此问题需要在一定的假设条件下，进行有理数的运算，最后给出估计。
例如，假定一顶帐篷可以住10个人，需要2万顶；假如要保证一个家庭住一顶帐篷，每个家庭4口人，需要5万顶。假定平均每人每天需要
2．代数式
（1）在现实情境中，借助代数式进一步理解用字母表示数的意义（如例2）。
例2 结合实例解释
[说明] 希望学生理解用字母表示的代数式是有一般意义的。a可以表示数量，例如葡萄的价格是每千克3元，则
（2）能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示（如例3-1、例3-2）。
例3-1 一条河流的水流速度为每小时2.5千米，描述河流中行船实际行走的速度。
[说明] 解决这个问题需要借助符号表述结果，可以使我们理解运用符号的表示具有一般性，有利于进一步学习方程，形成模型思想。因为解决问题时需要分顺水行船和逆水行船两种情况，所以可以培养我们在解决实际问题中，尽量把问题考虑全面。
有两种方法供参考：先从具体数据出发寻找规律，然后给出一般表述；先给出一般表述，然后用具体数据验证。无论用哪种方法，都要注意下面两点：从语言表达过渡到符号表达；用具体数据计算来验证表达结果。
例3-2 探索数量关系的变化规律。
求1+3+5+…+19=？
此题的目的当然不是希望通过加法运算得到结果，而是希望通过求解的过程归纳出规律，最终预测出一般性的结果并验证。可以有各种途径探索规律，但在本质上有两条基本途径：由简单到复杂；利用已知的公式。
（1）由简单到复杂。从题目的最简单的情况开始计算，探索规律：
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
会发现上述计算结果均为平方数，甚至可能会发现均为算式中因子个数的平方，于是可以预测
1+3+5+…+19=102=100
这个时候，考虑奇数的符号表达，考虑这个表达与题目中因子个数的关系，然后可以得到一般的结论：
1+3+5+7+…+(2n -1)= n2
最后用数学归纳法等验证这个结论。
这种由最简单情况出发探索规律的方法似乎非常笨拙，但在数学探究中往往是最有效的方法。在解决此类问题的过程中要关注：分析计算结果的数量关系，寻求规律、提出猜想、符号表达、验证规律。
我们还可以通过下面的点阵，从数与形的联系中发现规律：
可以看到，图中的折线中得到的就是平方数，用算式表达出来，然后得到一般的结论。
（2）利用已知结果。如果已经知道自然数前n项和的公式：
1+2+3+…+
则可以计算偶数的前n项和的公式：
2+4+6+…+2
=
于是奇数的前n项和的公式为：
=
=
第二种方法看起来比较简洁，但是从寻找规律的角度考虑，采用第一种方法更合适。第二种方法利于理解数学符号的意义，培养推导公式的能力。因此，在解决问题的过程中，要根据实际问题的不同采用不同的途径。
（3）会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。
3．整式
（1）了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。
（2）了解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）。
（二）方程与不等式
1．方程
（1）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型（如例4）。
例4 在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿和凳子腿数加起来共有60个，有几个椅子和几个凳子？
[说明]事实上，这个问题可以用三种方法建立模型。在小学讨论过的方法是基于四则运算，还可以用一元一次方程的方法或二元一次方程组的方法解决。我们从不同的角度思考同一个问题，有利于进行比较，加深对于模型的理解。
利用一元一次方程解决此问题时，可以通过具体列表的方式找出规律、建立方程，这样利于理解方程的意义，体会建模的过程。假设椅子数为a，则凳子数为16-a：
椅子数 凳子数 腿的总数
a =16 16-a =0
a =15 16-a =1
a =14 16-a =2
这样，合题意的方程为
对于二元一次方程组，则可以直接列方程。假设椅子数为a，凳子数为b，可以得到两个方程a+b=16和
从上面的讨论可以看到，用四则运算方法，思考最困难，但是结果最直接；用二元一次方程组的方法，思考最简洁，但是计算较繁琐。
（2）经历心算、画图等估计方程解的过程。
（3）掌握等式的基本性质。
（4）能解一元一次方程。
（5）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
2．不等式与不等式组
（1）结合具体问题，了解不等式的意义。
（2）能解简单的一元一次不等式；会确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。
（3）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。
（一）图形的性质[1]
1．点、线、面、角
（1）通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等（如例5）。
例5 从一个侧面为正方形的长方体实物中抽象出长方体、长方形、正方形、线段和顶点。
[说明] 我们在日常生活中见到的物体都是立体的，而在纸上画出的图形都是平面的，这是一类很重要的抽象。特别是把物体表面分解，有利于培养空间观念。
（2）会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。
（3）直观地了解平面上两条直线（不重合，下同）之间的关系：相交与不相交。
（4）掌握基本事实：两点确定一条直线。
（5）掌握基本事实：两点间直线段最短。
（6）理解两点间距离的意义，能度量两点之间的距离。
（7）理解角的概念，能比较角的大小。
（8）认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并计算角的和、差。
2．相交线与平行线
（1）理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质（如例6）。
例6 探索并掌握“对顶角相等”。
[说明] 通过此题可知道，研究图形的性质可以用不同的方法。
方法一：如图，如果∠AOB=50°，可以算得∠A′OB=130°，∠A′OB′=50°，∠B′OA=130°；若改变∠AOB的度数，同样可以算∠A′OB，∠A′OB′，∠B′OA′的度数，从中发现∠AOB与∠A′O B′，以及∠A′OB与∠B′OA的大小相等可能具有一般规律。这是用不完全归纳（合情推理）的方法，猜想“对顶角相等”。
方法二：用硬纸片制作一个角，把这个角放在白纸上，描出∠AOB；再把∠AOB绕着点O 旋转180°到∠A′OB′的位置，即OA与OA′在同一条直线上，OB与OB′在同一条直线上（如图），因此∠AOB与∠A′O B′是对顶角，且它们的大小相等。这是用图形运动的方法证明“对顶角相等”。
方法三：利用“同角的补角相等” ，用演绎推理的方法证明“对顶角相等”。
（2）理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
（3）理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。
（4）掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与这条直线垂直。
（5）识别同位角、内错角、同旁内角。
（6）理解平行线概念；掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
（7）掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
（8）掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；了解该定理的证明（如例7）。
例7 证明：两直线平行，则同位角相等。
[说明] 这个证明可以利用反证法完成，一方面了解结论的证明，另一方面可以帮助我们了解反证法。如图所示，我们希望证明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2。假设∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，使∠EOB′＝∠2。根据“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行”这个基本事实，可得A′B′∥CD。这样，过点O就有两条直线AB、A′B′平行于CD，这与基本事实“过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行”矛盾，说明∠1≠∠2的假设是不对的，于是有∠1＝∠2。
（9）能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
（10）探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行；平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）。
（11）了解平行于同一条直线的两条直线平行。
3．三角形
（1）理解三角形及其内角、外角等概念，会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类，了解三角形的稳定性。
（2）探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。
（10）了解等腰三角形的概念，等腰三角形的两底角相等；等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
（11）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
4．定义、定理
（1）了解定义、定理、推论的意义。
（2）知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，学会综合法证明的格式。
（3）通过实例体会反证法的含义。了解反例的作用，知道利用反例可以判断一句话是错误的。
（二）图形的变化
图形的轴对称、旋转、平移，在小学已经初步学习过，在有关图形、几何的问题中，要善于用图形的变化来思考。这些内容在初中阶段，还会进行更深一层次的学习。
1．通过对有关问题的探讨，了解所学过的数与代数、图形与几何、统计与概率知识之间的关联，加深对有关知识的理解。
2．进一步经历发现问题和提出问题的过程，积累数学活动经验。
3．结合实际背景，在给定目标下，设计解决问题的方案，进一步体验分析问题和解决问题的过程，发展应用意识和能力。（如例8、例9）
例8 空间想象与分类计数。
将一个边长为4的正方体的表面刷上红色的漆，再将它分割成64个边长为1的小正方体。
（1）求一面、两面、三面有红颜色的小正方体各有多少个？
（2）将正方体的边长改为5，表面刷上红色的漆，再将它分割成边长为1的小正方体，求一面、两面、三面有红颜色的小正方体各有多少个？
（3）将正方体的边长改为a（a是正整数）表面刷上红色的漆，再将它分割成边长为1的小正方体，求一面、两面、三面有红颜色的小正方体各有多少个？
（4）将正方体改成长、宽、高分别为3、4、5的长方体，表面刷上红色的漆，再将它分割成边长为1的小正方体，求一面、两面、三面有红颜色的小正方体各有多少个？
（5）将正方体改成长、宽、高分别为a、b、c的长方体(a、b、c均为正整数)，表面刷上红色的漆，再将它分割成边长为1的小正方体，求一面、两面、三面有红颜色的小正方体各有多少个？
[说明] 本活动可以培养空间想象力，积累由特殊到一般、寻找规律的数学经验。在逐渐深入的探讨过程中，要把握问题的共性，从而得到一般性的结论。
例9 从年历中想到的。
观察几个年份的年历、月历，思考下面几个问题：
（1）在一年的月历中，哪些月份的“月历表”是基本一致的？
（2）有一种计算机病毒叫“黑色的星期五”，当计算机的日期是13日又是星期五时，这种病毒就发作。请找出最近的5个使“黑色的星期五”发作的年、月、日。
（3）许多人都认为，“办喜事”最好的日子应该是“
（4）印刷厂需要印刷整张的年历，不写标题的年号的整张的被称为“年历模版”。设想，只需要多少种不同的年历模版，就能保证不管是哪一年，都能找到一个对应的模版，添上年号后就可以印刷年历了？（不考虑农历）。
（5）我们用大写字母表示一个3
A =
称这样的数表为“3阶方阵”，那么，在一个月历表里可以得到几个3阶方阵？
用T（A）表示A中9个数的和，并称之为3阶方阵的“特征数”。请在今年的月历表里找出使得特征数最大的、最小的3阶方阵。有人说：“由月历表生成的3阶方阵的特征数完全由A所包含的某一个数（如
[说明] 这是一个通过对日常生活观察、发现某些规律的开放性问题，可以根据自己的学习情况，提出不同层次的问题。每一个问题的提出和解决，都是为了学会观察、思考和质疑，提高学习数学的兴趣，体会模型思想。
问题（1）是让我们学会观察、学会提问题。这个问题的入手点低，都能参与，都能有所发现。并且可以培养“分类讨论”的意识，分平年和闰年：平年时，1、10月；2、3、11月；4、7月；9、12月的月历表基本一致；闰年时，1、4、7月；2、8月；3、11月；9、12月的月历表基本一致。在貌似杂乱无章中发现规律，利用规律感悟周期现象。
问题（2）中最近的几个“黑色的星期五”是：
问题（3）中最近的几个“
问题（4）讨论印刷年历模板的问题。可以这样思考：平年的
问题（5）中，特征数最大、最小的3阶方阵分别是：
A =
对应的特征数分别为：T（A）= 207和T（B）= 81。
“由月历表生成的3阶方阵的特征数完全由A所包含的某一个数（如
考虑数
A =
则可以得到T（A）=
由上面的证明，还可以发现T（A）都是9的倍数。
五、关于课本第一章《走进数学世界》
第一节《与数学交朋友》，就是说明数学与我们的日常生活、人类的各种活动，都有密切的关系，从而体会数学的价值。
并通过两位科学家的故事，告诉我们：只要通过努力，人人都能学好数学。
华罗庚说“聪明在于学习，天才在于积累”。就是告诉我们，智商是可以锻炼出来的，没有人天生就会得多、懂得多；只要认真学习，我们每个人都会变得越来越聪明，只要注重积累，我们每个人都是天才。
华罗庚15岁辍学，只相当于初中学历，左腿还瘸了，用六年半的时间自学完成了8年的学校课程，到了20岁就发表了第一篇数学论文，并成为举世公认的大数学家。
通过华罗庚的故事，可以知道，刻苦钻研是成功的基石，天生智商再高，以前学习再好，没有了刻苦，最终得到的只会是失败。
通过华罗庚的故事，多余老师还要告诉你们：
1、 数学真的很简单。初中学历一样成为大数学家。
2、 自学真的很重要。自主学习就是刻苦钻研的一种具体表现。
课本还举了陈景润的例子，但多余老师把陈景润当做一个反面的例子。因为他的世界里，只有数学，而且还只能是个人进行数学研究。我们应该做到全面发展，首先学会做人，学会与他人合作。
课本又举了一个生活实例，说明学好数学，除了要对数学有兴趣，要有刻苦钻研的精神，要善于发现问题和提出问题，要善于独立思考。还要把数学应用于实际问题，即知识要和实践相结合。
第二节《让我们来做数学》，就是告诉我们，在解决具体问题时，要用到的一些数学思想和方法。
在数3×3的方格图案中有多少个正方形的问题中，用到了“分类”的数学思想和方法。想一想，我们从小学一年级开始，数学课中是不是经常要进行“分类”？
“分类”的目的是什么？在数正方形的问题中，分类的目的就是让数数的事情“变得有顺序”，数数的过程能“完整、不遗漏、不重复”。 想一想，在初一上学期，我们都经历过哪些分类？每一次分类的目的和好处是什么？
在3×3的“九宫格”里填1到9这9个数，使得每行、每列及对角线上三数之和都相等的这个问题中，为什么要首先考虑中间的方格？为什么会是5填在中间的方格里？这就涉及到了“从众多同时存在的数量关系中，找出最具影响力的一个元素”，这是一个非常重要的数学能力和习惯。为什么我们说理科好的人，做事情快速、准确？就是这个能力强，就是这个习惯好。
课本上有这样的一道习题：运用加、减、乘、除四种运算和括号，如何由三个5和一个1得到24？（每个数只能用一次）
此题，相当多的中学生不会做，而且还不知道这是初一数学课本上的一道题。你怎么样呢？
不管什么问题，具有良好数学素养的人，第一考虑的就是“能不能把问题变得简单”？“简单化”是非常核心的数学思想。
针对本题，如何使思考变得简单？
从三个5一个1开始想，变化很多，尝试二三，发现解决不了，怎么办？
从24开始考虑，这一下使思考时，参与的元素一下变少了。这就是数学的“逆向思维”，从已知条件出发、从正面解决，解决困难时，可以从我们要达到的目的入手、从逆向角度解决。
“逆向思维”，不只是在数学中使用，数学只是提炼出思维，然后思维就可以运用到各个学科，生活的各个方面。你能举出现实生活中，使用“逆向思维”解决问题的实例吗？
话归正传，从24开始考虑，与1结合，有23、25、24三种结果，用三个5都组合不出来。那就让24与5结合，有19、29、120、24/5四种结果，用两个5一个1来组合，你会终于发现，只有24/5能组合出来，就是24/5=5-1/5。
于是问题得到解决：（5-1/5）×5=24。
数学真奇妙，数学真有趣、数学真简单、数学真有用。走进数学世界，也就走进了世界的数字！
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