一、等腰三角形中的相似
1.问题引入：在一个等腰△ABC中，AB=AC，连接BE、AD，∠BFD=∠ABC.求证：△BDF∼△ADB∼△BEC.
分析：如图①、②利用共边共角型相似可知：△BDF∼△ADB.
如图①、③利用“A字型”相似可知：△BDF∼△BEC.
∴△BDF∼△ADB∼△BEC.
2.动态几何演示：
小结：通过对△BDF翻折对称、旋转变换，可转化为平行型的相似.
3.动态几何探究：当D、E分别为BC、AC上的动点，其它条件不变，结论是否成立？
结论成立：△BDF∼△ADB∼△BEC.
（1）若等腰△ABC的顶角∠A<60°时；
条件：当点D与点C重合时.
结论：△BDF为等腰三角形；
△BDF∼△ADB（共变共角型相似）
（2）若等腰△ABC的顶角∠A>60°时.
条件：当点E与点A重合时.
结论：△ABD为等腰三角形；
△ABD∼△ACBA（共边共角型相似）
（3）若等腰△ABC的顶角∠A=60°,即△ABC为等边三角形.
条件：△ABC为等边三角形，∠BFD=60°.
结论：△BDF∼△ADB；△ADB≅△BEC.
4.模型图及结论：等腰三角形+夹角⇨相似
(1)条件：在△ABC中，AB=AC，∠BFD=∠ABD.
结论：△BDF∼△ADB∼△BEC.
(2)条件：在△ABC中，，AB=AC，△BDF∼△ADB∼△BEC.
结论：∠BFD=∠ABD.
(3)条件：在△ABC中，∠BFD=∠ABD，△BDF∼△ADB∼△BEC.
结论：AB=AC.
总结：①等腰三角形AB=AC、②角度∠BFD=∠ABD、③相似△BDF∼△ADB∼△BEC，知二求一.
5.拓展模型图及结论：构造手拉手旋转
条件：在△ABC中，AB=AC，∠BFD=∠ABD，AF=AG.
结论：△BDF∼△ADB∼△BEC;
△ABF≅△ACG≅AHG;(手拉手全等、对称全等)
A、B、C、G四点共圆.(手拉手旋转+三点共线=四点共圆)
模型回顾：
条件：DC=DB,DE=DA,∠CAB=∠EDA,当A、C、E三点共线时.
结论：四边形ABCD为对角互补的四边形（即A、B、C、D四点共圆）.
二、等边三角形中的全等
1.模型图的引入及结论
等边三角形中的全等其实是在等腰三角形的基础上，当角度为60°时所具有的特殊结论.
条件：△ABC为等边三角形，∠BFD=60°.
结论：△BDF∼△ADB、△BDF∼△BEC；△ADB≅△BEC.
2.动态几何演示：
小结：通过对△BDF翻折对称、旋转变换，可转化为平行型的相似.
小结：通过对△ABD旋转、平移变换，可完全重合.
3.动态几何探究：当D、E分别为BC、AC上的动点.
条件：△ABC为等边三角形，∠BFD=60°.
结论：△BDF∼△ADB、△BDF∼△BEC；△ADB≅△BEC.
4.逆命题：知二求二
（1）条件：△ABC为等边三角形，△ADB≅△BEC.
结论：△BDF∼△ADB，∠BFD=60°.
（2）条件：△ABC为等边三角形，△BDF∼△ADB.
结论：△ADB≅△BEC，∠BFD=60°.
总结：①等边△ABC ②∠BFD=60° ③△ADB≅△BEC ④△BEC∼△BDF∼△ADB，
知二求二.
5.拓展模型图及结论：构造手拉手旋转（类比等腰三角形的拓展模型）
条件：在等边△ABC中，∠BFD=60°，AF=AG，AH=AB.
结论：△BDF∼△ADB，△BDF∼△BEC；
△ADB≅△BEC；
△ABF≅△ACG≅AHG;(手拉手全等、对称全等)
A、B、C、G四点共圆.(手拉手旋转+三点共线=四点共圆)
例题:如上图，已知AB=AC=BC=AH，BD=CE，AF=5，BF=3，求AB、BH、AE的长.
分析：利用所知的模型，尝试求解.
三、正多边形中的全等
在等边三角形（正三角形）的基础上，继续探究正方形、正五边形、正六边形···
1.正方形中的全等
条件：正方形ABCD，△ABE≅△BCF.
结论：∠BPE=90°.
2.正五边形中的全等
条件：正五边形ABCDE，△BCF≅△CDG.
结论：∠CPE=108°,△CPF∼△BCF（共边共角型相似）、△CPF∼△CDG（A字型相似）.
3.正六边形中的全等
条件：正六边形ABCDEF，△BCG≅△CDH.
结论：∠CPG=120°,△CPG∼△BCG（共边共角型相似）、△CPG∼△CDH（A字型相似）.
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