一、等腰三角形中的相似
1.问题引入:在一个等腰△ABC中,AB=AC,连接BE、AD,∠BFD=∠ABC.求证:△BDF∼△ADB∼△BEC.
分析:如图①、②利用共边共角型相似可知:△BDF∼△ADB.
如图①、③利用“A字型”相似可知:△BDF∼△BEC.
∴△BDF∼△ADB∼△BEC.
2.动态几何演示:
小结:通过对△BDF翻折对称、旋转变换,可转化为平行型的相似.
3.动态几何探究:当D、E分别为BC、AC上的动点,其它条件不变,结论是否成立?
结论成立:△BDF∼△ADB∼△BEC.
(1)若等腰△ABC的顶角∠A<60°时;
条件:当点D与点C重合时.
结论:△BDF为等腰三角形;
△BDF∼△ADB(共变共角型相似)
(2)若等腰△ABC的顶角∠A>60°时.
条件:当点E与点A重合时.
结论:△ABD为等腰三角形;
△ABD∼△ACBA(共边共角型相似)
(3)若等腰△ABC的顶角∠A=60°,即△ABC为等边三角形.
条件:△ABC为等边三角形,∠BFD=60°.
结论:△BDF∼△ADB;△ADB≅△BEC.
4.模型图及结论:等腰三角形+夹角⇨相似
(1)条件:在△ABC中,AB=AC,∠BFD=∠ABD.
结论:△BDF∼△ADB∼△BEC.
(2)条件:在△ABC中,,AB=AC,△BDF∼△ADB∼△BEC.
结论:∠BFD=∠ABD.
(3)条件:在△ABC中,∠BFD=∠ABD,△BDF∼△ADB∼△BEC.
结论:AB=AC.
总结:①等腰三角形AB=AC、②角度∠BFD=∠ABD、③相似△BDF∼△ADB∼△BEC,知二求一.
5.拓展模型图及结论:构造手拉手旋转
条件:在△ABC中,AB=AC,∠BFD=∠ABD,AF=AG.
结论:△BDF∼△ADB∼△BEC;
△ABF≅△ACG≅AHG;(手拉手全等、对称全等)
A、B、C、G四点共圆.(手拉手旋转+三点共线=四点共圆)
模型回顾:
条件:DC=DB,DE=DA,∠CAB=∠EDA,当A、C、E三点共线时.
结论:四边形ABCD为对角互补的四边形(即A、B、C、D四点共圆).
二、等边三角形中的全等
1.模型图的引入及结论
等边三角形中的全等其实是在等腰三角形的基础上,当角度为60°时所具有的特殊结论.
条件:△ABC为等边三角形,∠BFD=60°.
结论:△BDF∼△ADB、△BDF∼△BEC;△ADB≅△BEC.
2.动态几何演示:
小结:通过对△BDF翻折对称、旋转变换,可转化为平行型的相似.
小结:通过对△ABD旋转、平移变换,可完全重合.
3.动态几何探究:当D、E分别为BC、AC上的动点.
条件:△ABC为等边三角形,∠BFD=60°.
结论:△BDF∼△ADB、△BDF∼△BEC;△ADB≅△BEC.
4.逆命题:知二求二
(1)条件:△ABC为等边三角形,△ADB≅△BEC.
结论:△BDF∼△ADB,∠BFD=60°.
(2)条件:△ABC为等边三角形,△BDF∼△ADB.
结论:△ADB≅△BEC,∠BFD=60°.
总结:①等边△ABC ②∠BFD=60° ③△ADB≅△BEC ④△BEC∼△BDF∼△ADB,
知二求二.
5.拓展模型图及结论:构造手拉手旋转(类比等腰三角形的拓展模型)
条件:在等边△ABC中,∠BFD=60°,AF=AG,AH=AB.
结论:△BDF∼△ADB,△BDF∼△BEC;
△ADB≅△BEC;
△ABF≅△ACG≅AHG;(手拉手全等、对称全等)
A、B、C、G四点共圆.(手拉手旋转+三点共线=四点共圆)
例题:如上图,已知AB=AC=BC=AH,BD=CE,AF=5,BF=3,求AB、BH、AE的长.
分析:利用所知的模型,尝试求解.
三、正多边形中的全等
在等边三角形(正三角形)的基础上,继续探究正方形、正五边形、正六边形···
1.正方形中的全等
条件:正方形ABCD,△ABE≅△BCF.
结论:∠BPE=90°.
2.正五边形中的全等
条件:正五边形ABCDE,△BCF≅△CDG.
结论:∠CPE=108°,△CPF∼△BCF(共边共角型相似)、△CPF∼△CDG(A字型相似).
3.正六边形中的全等
条件:正六边形ABCDEF,△BCG≅△CDH.
结论:∠CPG=120°,△CPG∼△BCG(共边共角型相似)、△CPG∼△CDH(A字型相似).
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