宇宙监督假设的数学形式是什么？

------------------- 2020.10.6更新 --------------------

更新几句话吧。真的是非常令人激动，刚刚得知2020年诺贝尔物理学奖授予了英国理论物理学家Roger Penrose勋爵，以表彰其发现黑洞的形成是广义相对论的强有力预测。这其中，最重要的工作是他在1965年利用巧妙的数学方法证明了（即使恒星并非是完美对称坍缩的）黑洞的形成也是广义相对论的必然结果，以及他和Stephen Hawking进一步证明的奇点定理，这一定理指出，如果Einstein的广义相对论正确，物质满足一定的能量条件，那么将一定存在一个奇点，在这一点处时空曲率是发散的，时间在此处起始或终结。由于奇点周围会存在奇异的物理现象，破坏现有的物理定律，且对无穷远观测者也将产生影响，因此裸的奇点是令人无法接受的，于是Penrose在随后的研究中，进一步提出了所谓的宇宙监督（cosmic censorship），这正是下面要讨论的。

--------------------- 原回答如下 ----------------------

要想说清宇宙监督假设，绝非几句就能说明白的，具体来讲一下吧。

一、裸奇异与宇宙监督假设的提出

宇宙监督假设是Penrose在研究极端黑洞时提出的。我们说，当满足条件 

 (其中 

 为黑洞单位质量角动量，

 是黑洞带电荷量，

 为黑洞质量) 时，Kerr-Newman黑洞达到极端状态：

，

 (其中 

 为外视界，

 为内视界)，这时内、外视界重合，单向膜区成为一张无限薄的膜。如果再增加一点电荷或角动量，内外视界和单向膜区将消失，奇环 (对于Reissner-Nordström黑洞为奇点) 将裸露出来，出现裸奇异（naked singularity）。裸露的奇环 (或奇点) 会向周围放出不确定的信息，破坏时空的因果性。或者说裸奇异的出现会导致物理定律在那里失效，我们将失去利用物理定律预言未来事件的能力。换句话说，裸奇异的出现将会影响物理时空的演化，这是物理学家所不希望的。

图1. Kerr－Newman黑洞的剖面图，在内无限红移面内存在奇环[1]

为了避免这一现象的出现，Penrose于1969年提出宇宙监督假设 (cosmic censorship hypothesis，简称为CCH)：“存在一位宇宙监督，它禁止任何物理时空中裸奇异的出现”。宇宙监督假设意味着，存在一位宇宙监督，它会监督奇点或奇环，使之隐蔽于事件视界的背后，或者说奇点或奇环必须被视界包住。宇宙监督假设的支持者之一是Penrose的合作者Hawking，他曾幽默地描述这一假设为：“上帝憎恶裸奇异 (God abhors a naked singularity. ) ”

Penrose最初考虑只要把奇点或者奇环包在黑洞内，信息跑不出黑洞，就不会破坏时空的因果性。视界就像衣服一样，披在奇点和奇环身上。更生动的说法是，存在一位宇宙监督，它不允许奇点不穿着衣服就出现。

值得一提的是，虽然裸奇点不受欢迎，但我们必须看到， 在普遍意义下摒弃裸奇点是不现实的。按照大爆炸宇宙学， 我们所生活的宇宙始于约 138 亿年前的一次大爆炸。从某种程度上讲，大爆炸正是一个裸奇点， 我们不仅可以观测到它的残留效应， 而且我们及我们周围的一切本身就是残留效应的一部分。 不过大爆炸已成事实， 只要此后的时空演化不再产生新的裸奇点， 广义相对论的预言能力就不会遭到破坏。 因此， 在考虑宇宙监督假设时， 像大爆炸这样的初始裸奇点需要被排除在外。

然而，奇点和奇环即使被包在黑洞中，在某些情况下，进入到黑洞内部的人仍有可能看到它。例如对于Reissner-Nordström黑洞、Kerr-Newman黑洞和Kerr黑洞等，穿过黑洞视界后的宇航员将会看见黑洞内部的奇点和奇环，从而受到它们的奇异性的影响，因果关系仍将破坏。于是，Penrose改进了他的宇宙监督假设：“类时奇异性是不稳定的” (参见下面的Penrose图[1])。他认为，在扰动下类时的奇点或奇环会“倒”在内视界 

 上，成为类光或类空奇异性，从而截断飞船进入黑洞的通道，这样，宇航员的飞船就无法进入 

 的时空区，自然不会接受到来自奇点或奇环的信息，这就保证了因果性不会被破坏。

图2. 不稳定类时奇异性的Penrose图[1]

在此之后，Penrose把宇宙监督假设进一步改为：“时空一定是整体双曲的”。所谓“整体双曲”，就是一定存在Cauchy面 (Cauchy面的定义可参见“时空因果性”的相关知识)。换句话说，一定可以在四维时空中找到一张三维超曲面，过时空中任何一点的因果曲线都必定通过它。后来Penrose等人继续在宇宙监督假设上作了更为深入的研究，我们在后面会提到。

不过，仍然存在一个疑问，“宇宙监督” 到底是什么？物理地讲，这样的假设没有解决任何问题，如果这条假设真的正确，我们就要弄清这位 “宇宙监督” 究竟是谁，它必定是一条物理定律，也许是我们尚不知道的一条定律，也有可能是我们已经知道的一条定律，只不过我们还没有看出它与时空奇异性的联系罢了。

虽然宇宙监督假设只是一个猜想，但是我们必须指出：宇宙监督假设是黑洞理论的基石之一，因此这一假设是极为重要和基本的。

二、黑洞简介与弱宇宙监督假设 (weak cosmic censorship hypothesis)

在进一步阐释宇宙监督假设之前，先简单讨论一下黑洞 (black hole) 及事件视界 (event horizon)。在广义相对论中， 黑洞这一概念是在渐近平直时空中定义的，更为确切的说，是在所谓的强渐近可预测 (strongly asymptotically predictable) 时空中进行定义的。何为强渐进可预测时空呢？它是一种特殊的渐近平直时空 (在Wald的《广义相对论》(General Relativity) 中可以找到确切的定义)，在这种时空中，类光无穷远的因果过去 

 是全局双曲的 (其中 

 表示因果过去，

 表示类光无穷远)。由于类光无穷远的因果过去是由所有可以与类光无穷远建立因果联系的时空点所组成，而全局双曲 (globally hyperbolic，全局双曲的定义可参见“时空因果性”的相关知识) 意味着时空中的演化可以通过适当的初始条件来预言。因此在强渐近可预测时空中只要给定适当的初始条件，我们就可以对所有能用光信号到达类光无穷远的部分 

 做出完善的预言。

那么，通过上面的阐述，我们就可以给黑洞下一个定义了。黑洞就是由所有无法与类光无穷远建立因果联系的时空点所组成的时空区域 (而这正是 “连光也无法从黑洞中逃逸” 这一通俗说法的物理表述)。黑洞的边界则被称为视界，或者说事件视界。将黑洞的概念与强渐近可预测时空的定义联系起来，我们可以看到，在强渐近可预测时空中，除黑洞以外的所有区域都具有良好的因果性质 (全局双曲)。这样的区域显然不可能包含奇点。换句话说，在强渐近可预测时空中如果存在奇点，则奇点必定存在于黑洞之中，这正是宇宙监督假设所预期的。因此，利用强渐近可预测时空这一概念，宇宙监督假设，确切地说是弱宇宙监督假设 (weak cosmic censorship hypothesis，简称为WCCH) 可以表述为：在正常的物质性质及初始条件下，时空是强渐近可预测的。这会产生一个问题，那就是何为 “正常的物质性质及初始条件” ？事实上，这是一个极其困难的问题，它和宇宙监督假设本身一样，是一个迄今尚未完全解决的问题。 因此我们说，宇宙监督假设的表述本身就是一个难题，它的证明则是难上加难。

三、宇宙监督假设的严格表述

上面我们提到的那个表述没有对 “正常的物质性质及初始条件” 做出明确的界定，那么究竟什么才是 “正常的物质性质”？能不能对 “正常的物质性质” 给出一个确切的定义呢？终于，经过物理学家们长时间的努力，给出了 “正常的物质性质” 的定义。

如果 

，

，...，

 表示物质场或其分量，那么具有 “正常的物质性质” 的物质场被定义为满足以下形式的准线性二阶双曲运动方程组：

。在这里， 准线性 (quasilinear) 是指相对于最高阶 (对于本方程组来说即二阶) 协变导数为线性。这一定义参照了包括电磁场在内的物理学中所有基本动力学体系的主要特征， 并且作了适当的推广 (比如允许度规张量 

 依赖于物质场的一阶协变导数)，因而被认为具有极大的普适性。当然，对于宇宙监督假设来说，我们还要求物质场满足适当的能量条件，比如主能量条件，以此排除诸如质量参数 

 的 Schwarzschild 时空那样的情形 (这里不详细说明)。

我们已经完成了对 “正常的物质性质” 的说明，还必须对 “正常的初始条件” 也给出一个定义。这一点是相对容易的，考虑到黑洞和视界的定义有赖于时空的渐近平直性，所谓的“正常的初始条件”，显然就应该定义为某个渐近平直类空超曲面

上的满足一定渐近条件的 

 和 

，此即渐近平直的初始数据集 (简单解释一下这里，引进超曲面

的单位法矢量

，则可引入诱导度规 

，而 

 随时间演化的信息由 

 沿 

 法向 

 的李导数来定义，而 

，人们通常将三元组 

 称为初始数据集，而如果 

 渐近平直，且类空无穷远 

 满足一定的解析条件，则相应的初始数据集被称为渐近平直的初始数据集。这里涉及到了时空流形的Arnowitt-Deser-Misner分解以及广义相对论的动力学的相关知识)。

综上所述，我们给出宇宙监督假设的一个比较严格的表述[2]：

宇宙监督假设

如果 

物质场的运动方程组为形如 

 的准线性二阶双曲方程组；

物质的分布满足主能量条件； 

 为渐近平直的初始数据集，那么 

 的最大Cauchy展开是强渐近可预测的。
注：这里的 

 的最大 Cauchy 展开 (maximal Cauchy development) 指的是该初始数据集所对应的流形 

 在微分同胚意义上保持 

 为Cauchy面的最大延拓 (关于最大Cauchy展开的详细定义可参阅Wald的《广义相对论》)。

四、宇宙监督假设一直备受挑战

我们必须指出，长期以来，宇宙监督假设的许多论据中，有些论据有利于宇宙监督假设， 有些则是不利的。一些诸如零质量标量场等方面的研究工作更是给予宇宙监督假设以沉重的打击 (事实上它直接否定了我们上面所给出的宇宙监督假设的严格表述)。在这一系列的不利结果面前，宇宙监督假设的捍卫者Hawking终于扛不住了。但Hawking对宇宙监督假设痴心不改，他发现针对宇宙监督假设所构造的反例全都依赖于非常特殊的初始条件和非常严格的对称性，而这在现实世界中实际上是无法出现的。因此，Hawking认为：一般初始条件 (generic initial condition) 下的动力学演化不会产生裸奇点。 或者反过来说： 裸奇点只能由特殊的初始条件所产生。可以看到，Hawking 寄希望于从初始条件的一般性来排除裸奇点，这的确是一个比较合理的想法。

Hawking对宇宙监督假设的这种修正迄今尚未被完全证实，但在很大程度上指出了宇宙监督假设的一个重要的研究方向。因为事实上，种种反例的存在已经推翻了我们上面表述的宇宙监督假设的严格形式。要想挽救宇宙监督假设，附加条件的引进已是势在必行，正像Hawking所做的那样。

值得注意的是，Hawking引进的附加条件有可能造成一些不容忽视的后果。比如我们知道，广义相对论中有一些重要的结果，如Hawking的黑洞面积定理是在那种如今看来并不成立的宇宙监督假设的基础上证明的。Hawking引进的附加条件对那些证明及其结论会产生怎样的影响也许是值得读者去思考的。

五、强宇宙监督假设 (strong cosmic censorship hypothesis)

最后我们简单介绍一下强宇宙监督假设。前面我们曾提到了弱宇宙监督假设，它只要求奇点存在于视界以内， 从而与视界外的时空断绝因果联系，却并不排除视界内的观测者直接观测到奇点的可能性，也就是说弱宇宙监督假设就是我们在大标题“一”中提到的Penrose最早给出的宇宙监督假设。

如大标题“一”中所述，如果考虑到视界内的观测者，我们提出：裸奇点不仅对于视界外的观测者， 而且对于视界内的观测者都是不具有观测意义的。 这就是所谓的强宇宙监督假设(strong cosmic censorship hypothesis，简称为SCCH)。强宇宙监督假设曾被 Penrose 表述为：除去初始奇点外，所有物理上合理的时空都是全局双曲的。 这就是我们在标题“一”中给出的。

六、展望与思考

到目前为止，有关宇宙监督假设的研究还在进行。总之，物理学家们普遍认为，奇点在广义相对论中的存在是广义相对论作为经典理论的局限之处。一个完整的量子引力或更宏伟的终极理论 (theory of everything) 中，那样的奇点是不会存在的。既然如此，我们有什么理由认为广义相对论需要以某种精巧的方式阻止事实上根本就不存在的奇点的观测效应呢？以Hawking的 “上帝憎恶裸奇点” 这句话来说，如果“上帝”创造的原本就是一个量子引力世界，在那里原本就不存在真正意义上的奇点，那它又有什么理由要在广义相对论这样一个非量子、低能有效的理论中“憎恶”一个在完整理论中根本就不存在的裸奇点呢？退一步讲，倘若“上帝”果真“憎恶”广义相对论中的裸奇点，为何又允许它出现在种种个例之中，导致宇宙监督假设的种种推理。无论是作为拟人化的“上帝”的喜好，还是作为单纯的物理分析，都显得不够自洽。

从历史上看，在黑洞概念问世之初， 英国物理学家Eddington曾认为大自然将会阻止黑洞出现，就像宇宙监督假设的支持者们认为大自然将会阻止裸奇点出现一样， 结果Eddington错了；在量子力学问世之初，Einstein曾像Hawking那样猜测过“上帝”的喜好，认为“上帝”不会掷骰子，结果Einstein错了。历史将会在宇宙监督假设这里重演一遍，还是另谋篇章？我们不得而知，宇宙监督假设的最终命运将会如何？这是未来广义相对论研究中一个重要课题。

参考文献：

[1] 赵峥. 广义相对论基础[M]. 北京: 清华大学出版社, 2014.

[2] 部分内容参考了卢昌海的文章，感兴趣的读者可以参看：

宇宙监督假设简介 (一)

https://www.changhai.org/articles/science/physics/energy_condition/censorship_hypothesis_1.php

从奇点到虫洞
http://www.changhai.org/articles/s