罗尔中值定理和根的存在性定理结合应用，充要条件还可以这么用

老黄写这些作品的目的只有一个，就是帮助自己以及爱学习的小伙伴们强化高等数学的一些定理以及相关知识的掌握和运用能力。下面是一道关于罗尔中值定理和根的存在性定理的综合应用的例题。

设k>0，若方程arctanx-kx=0存在正根，求k的取值范围.

分析：先明确对应的函数f(x)在R上可导，因此，在任意闭区间上，都符合罗尔中值定理，并在任何范围内都可能找到符合根的存在性定理的区间。

假设方程存在正实根x0，那就在[0,x0]上应用罗尔中值定理，可以发现k在(0,1)上, 这是方程存在正根的必要条件。而非充要条件。所以接下来要证明k在(0,1)上，是方程存在正根的充分条件，从而形成充要条件，那么(0,1)就是k的取值范围。

事实上，证明k在(0,1)上是必要条件的方法有很多，但运用罗尔中值定理来证明，数学语言上比较规范。另外一种比较规范的方法是，说明当k>1时，f'(x)<0，使得函数严格单调减。这时方程就只有一个实根，而由f(-x)=-f(x)可知，f是一个连续的奇函数，方程有一个根x=0，就变成了方程唯一的实根，也就不会有正根了。

当0<k<1时，可以证明f'(0)>0，由连续函数的局部性质，可知存在0的一个邻域，使得f'(x)>0，即函数在这个邻域上严格单调递增，所以在这个邻域内肯定存在使函数大于0的点a。又当x趋于正无穷时，函数趋于负无穷，所以一定存在大于a，且使函数小于0的点b。这样就在(a,b)上构成根的存在性定理的条件，从而可知(a,b)上有正根。这就证明了0<k<1的充分性。即k在(0,1)上是方程有正根的充要条件。从而得证！

下面组织证明过程：

证：记f(x)=arctanx-kx, f(x)在R上可导,

记存在x0>0, 使f(x0)=f(0)=0, 则由罗尔中值定理知，

存在ξ∈(0,x0)，使得f’(ξ)=1/(1+ξ ^2 )-k=0, ∴0<k<1.

当0<k<1时，由f’(x)= 1/(1+x^2 )-k，有f’(0)=1-k>0,

∴存在某邻域U(0,δ)，使得f’(x)>0，f(x)严格递增，

从而存在a>0，使f(a)>f(0)=0.

又lim(x→+∞)f(x)=-∞,

∴存在b>a，使f(b)<0，

由根的存在定理知，方程在(a,b)内有正根.

∴当且仅当0<k<1时,方程存在正根.

我们来看一看，当k=1时的函数图像，很明显的，方程这个时候是没有实根的。

接下来是当k=1/2时的函数图像，可以看到，方程这个时候就有一个正根了。

那如果k<0会怎么样呢？看下图，是k=-1/2时的函数图像。

希望老黄对这道题的解析，能帮你强化罗尔中值定理和根的存在性定理的应用能力。